Нет, к сожалению, это совсем неправильно.
1) Индекс
повторяется четыре раза. Это новый рекорд.
2) Из двух «дифференцирующих» индексов в данном случае один должен быть свободным, а у Вас оба связанные, немые.
3) Ещё раз прошу: указывайте порядок свободных индексов, чтобы можно было точно сказать, где ошибка. Например, в такой форме:
![$\Bigl(\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ij}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/d/c1df34423fd1257ef389c04477abb67982.png "$\Bigl(\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ij}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}$")
Обратите внимание: слева индексы
и
не означают дифференцирования (нет запятой). Они означают, что берется компонента тензора второго ранга с индексами
и
(порядок важен), а равна она тому, что в правой части. Соответственно, в правой части в каждом слагаемом эти индексы обязаны встречаться ровно один раз, остальные же входят парами.
Без такой информации проверить правильность выражения нельзя. Например, вот это уже неправильно:
![$\Bigl((\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ji}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/1/2c143b6b57bb8889cee39d32b9f2b85782.png "$\Bigl((\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ji}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}$")
Я всего лишь изменил смысл индексов
и
с «первый-второй» на «второй-первый», а правая часть осталась той же, что в правильной предыдущей формуле.
4) Символы Леви-Чивиты объединяются в символы Кронекера только парами. Три
в
превратить нельзя. Вернее, можно, но сложно (см. оффтоп), и это точно от Вас не требуется.
(Оффтоп)
Основываясь на формуле
вместо 
.
. Почему индекс 
встречается трижды?
![$[a\times[x\times e]]=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a^jx^le^m=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})a^jx^le^m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/7/8a7aa72fcb49daf1903bb14f55613d6f82.png "$[a\times[x\times e]]=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a^jx^le^m=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})a^jx^le^m$")
![$\nabla[\nabla\times(a\times r)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/d/86df9b3e466b811b8b92aa6812b24d1f82.png "$\nabla[\nabla\times(a\times r)]$")
где 
![$\nabla[rot[a\times [x\times e]]]=\nabla[rot(x(a\cdot e)-rot(e(a\cdot x))]=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_jx_ke_i)_{,qq}=...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249f37a9c6995965b5d2c5ef6cb56a7582.png "$\nabla[rot[a\times [x\times e]]]=\nabla[rot(x(a\cdot e)-rot(e(a\cdot x))]=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_jx_ke_i)_{,qq}=...$")
?
Вы расписали правильно. Однако, если 
— это компоненты радиус-вектора, то 
запишется проще: 
(аналогично 
), а 
и вовсе равно нулю.
неправильно:
(сложное выражение с множеством индексов)
![$rot[a\times(x\times e)]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/d/61d8647452028a7cf6ca8ba577131d3c82.png "$rot[a\times(x\times e)]$")
должно быть три символа ливи-чивита. Неисключено, что мы могли быть правы а он, ошибался.
. Каждый ротор и векторное произведение — один символ 
![$\Bigl(\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ij}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_{m,i}x_pe_r+s_mx_{ip,i}r_r+a_mx_pe_{r,i})_{,k}=
\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_{m,jk}x_pe_r+a_{m,i}x_{p,k}e_r+a_{m.j}x_pe_{r,k}+a_{m,k}x_{p,j}e_r+
a_mx_{p,ik}e_r+a_mx_{p,i}e_{r,k}+a_{m,k}x_pe_{r,i}+a_mx_{p,k}e_{r,i}+a_mx_{p,k}e_{r,ik})=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(\delta_{mi}\delta_{pk}e_r+\delta_{mi}x_p\delta_{rk}+
\delta_{mk}\dleta_{pi}e_r+a_m\delta_{pi}\delta_{rk}+\delta_{mk}x_p\delta_{rj}+a_m\delta_{pk}\delta_{ri})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/7/d07fc97d271d8974fbb594035dca334d82.png "$\Bigl(\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]\Bigr)_{ij}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_m x_p e_r)_{,ik}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_{m,i}x_pe_r+s_mx_{ip,i}r_r+a_mx_pe_{r,i})_{,k}=
\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(a_{m,jk}x_pe_r+a_{m,i}x_{p,k}e_r+a_{m.j}x_pe_{r,k}+a_{m,k}x_{p,j}e_r+
a_mx_{p,ik}e_r+a_mx_{p,i}e_{r,k}+a_{m,k}x_pe_{r,i}+a_mx_{p,k}e_{r,i}+a_mx_{p,k}e_{r,ik})=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p r}(\delta_{mi}\delta_{pk}e_r+\delta_{mi}x_p\delta_{rk}+
\delta_{mk}\dleta_{pi}e_r+a_m\delta_{pi}\delta_{rk}+\delta_{mk}x_p\delta_{rj}+a_m\delta_{pk}\delta_{ri})$")
![$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [3\nabla a-(\nabla a)E + r\cdot\nabla\nabla a-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/b/dabe18f71e510d224a1cacb6bfc62a6482.png "$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [3\nabla a-(\nabla a)E + r\cdot\nabla\nabla a-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$")
или
![$\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/c/9ecda5e55d91a370fba385489e372bc182.png "$\nabla[\operatorname{rot}[a\times [x\times e]]]$")
у Вас в ходе решения исходной задачи получается? То есть я Вам всё время говорю «давайте решать задачу», а Вы её уже давно решаете? И это не какой-то вспомогательный тренировочный пример?![$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c57a022ac01897f31323b3f6c39442dd82.png "$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS$")
? Откуда Вы взяли, например, вектор 
![$\[
\begin{gathered}
\vec \nabla \times \left( {\vec a \times \vec r} \right) = \partial _i \left( {\vec ax^i } \right) - \partial _i \left( {a^i \vec r} \right) = \vec r \cdot \vec \nabla \vec a + 3\vec a - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r - \vec a \cdot \hat 1 \hfill \\
\vec \nabla \left[ {\vec \nabla \times \left( {\vec a \times \vec r} \right)} \right] = \vec \nabla \left[ {\vec r \cdot \vec \nabla \vec a + 2\vec a - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r} \right] = \hat 1 \cdot \vec \nabla \vec a + \vec r \cdot \vec \nabla \vec \nabla \vec a + 2\vec \nabla \vec a - \left( {\vec \nabla \vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\hat 1 \hfill \\
\end{gathered}
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/8/a2875131bcaf76cac9aee743de0c128782.png "$\[
\begin{gathered}
\vec \nabla \times \left( {\vec a \times \vec r} \right) = \partial _i \left( {\vec ax^i } \right) - \partial _i \left( {a^i \vec r} \right) = \vec r \cdot \vec \nabla \vec a + 3\vec a - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r - \vec a \cdot \hat 1 \hfill \\
\vec \nabla \left[ {\vec \nabla \times \left( {\vec a \times \vec r} \right)} \right] = \vec \nabla \left[ {\vec r \cdot \vec \nabla \vec a + 2\vec a - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r} \right] = \hat 1 \cdot \vec \nabla \vec a + \vec r \cdot \vec \nabla \vec \nabla \vec a + 2\vec \nabla \vec a - \left( {\vec \nabla \vec \nabla \cdot \vec a} \right)\vec r - \left( {\vec \nabla \cdot \vec a} \right)\hat 1 \hfill \\
\end{gathered}
\]
$")
как мы получили 
?
![$r=x^i e_i=[\vec x\times\vec e]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/a/cfac1a228648a9e43c8ad06c68d6b9fb82.png "$r=x^i e_i=[\vec x\times\vec e]$")
?