Сила реакции нити

[Xey]

nikvic в сообщении #802944 писал(а):

Возьмите нить весьма короткой (по сравнению с длиной стержня). Получите почти стержень на шарнире и значительные горизонтальные усилия в нём.

Когда качающийся на шарнире стержень зависает горизонтальном положении, в нем нет горизонтальных усилий , и вообще никаких усилий к нему не приложено, кроме веса.
В момент обрыва нити стержень находится в аналогичном состоянии , на него действует только вес (на ЦТ стержня)

[nikvic]

Xey в сообщении #802968 писал(а):

В момент обрыва нити стержень находится в аналогичном состоянии , на него действует только вес (на ЦТ стержня)

Вес - сила, с которой тело действует на то, что считается опорой.


Не буду спорить с ерундой. Натяжение будет ненулевым. Задача известна.

У задачки (для начального момента) есть более понятный вариант с теми же формулами. Именно, падение шкива (даны масса, радиус, момент инерции) с разматыванием нити - ""маятник Максвелла.

[maisvendoo]

Вы правы, nikvic. Численный анализ дает для реакции следующий график

Параметры: $m = 1$ кг, $\cfrac{l}{a} = 100$, где l - длина стержня, a - длина нити

Для $\cfrac{l}{a} = 0.5$ выходит вот так

(Сила в Ньютонах)

Нить будет отклонятся от вертикали.
Без вывода приведу уравнения движения в форме Лагранжа 2-го рода

$a^2\ddot{\varphi} - \cfrac{1}{2}al\ddot{\psi}\sin \left(\psi + \varphi\right) - \cfrac{1}{2}al\dot{\psi}^2\cos \left(\psi + \varphi\right) + ga\sin \varphi = 0$, (1)
$\cfrac{1}{3}l^2\ddot{\psi} - \cfrac{1}{2}al\ddot{\varphi}\sin \left(\psi + \varphi\right) - \cfrac{1}{2}al\dot{\varphi}^2\cos \left(\psi + \varphi\right) - \cfrac{1}{2}gl\cos \psi = 0$, (2)

где $\varphi$ - угол отклонения нити от вертикали; $\psi$ - угол наклона стержня к горизонтали.

Вывод их достаточно трудоемок. Решение позволяет определить движение стержня и значение реакции нити

[maisvendoo]

Из уравнения (1) нетрудно установить, что в окрестности начального положения $\ddot{\varphi} \ne 0$, как только начнется поворот стержня вниз, появится угловое ускорение нити. Соответственно признаю свою ошибку в утверждении о вертикальности нити.

P.S.: Интересная задача.
И, похоже, реакция действительно не обнуляется

аналитическое доказательство этого оставим читателю...

Mesange писал(а):

А почему нельзя решить общую задачу о движении стержня (например, в предположении, что нить не отклоняется от горизонтального положения) и в предельном случае t->0 (или нулевого угла отклонения) получить условие для силы реакции нити?

Для начального положения стержня эта задача имеет крайне простое аналитическое решение

$T\left(0\right) = \cfrac{mg}{4}$

которое можно найти безо всяких Лагранжей, из дифференциальных уравнений плоского движения

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

еще про обрезание перерезание



Однородный диск массы $m$ радиуса $r$ c центром в точке $S$ вращается с постоянной частотой $\omega$ вокруг невесомого горизонтального стержня стержня $AC$. Плоскость диска перпендикулярна стержню и $AS=SC=l$. Стержень подвешен за свой конец $C$ на нити, так, что отрезок, соединяющий шарнир $A$ и точку подвеса $B$ вертикален и равен по длине $a$.
Стержень вращается вокруг оси $AB$ с частотой $\Omega$.
Найти реакцию в идеальном шарнире $A$ сразу после перерезвания невесомой нерастяжимой нити $BC$.
(Считается, что параметры задачи выбраны так, что до перерезания нить остается натянутой)

[maisvendoo]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, шарнир сферический или цилиндрический?

[Oleg Zubelevich]

шарнир сферический, конец стержня неподвижен, а стержень может вращаться вокруг него как угодно без трения

[Xey]

maisvendoo в сообщении #803013 писал(а):

Для начального положения стержня эта задача имеет крайне простое аналитическое решение

$T\left(0\right) = \cfrac{mg}{4}$

Да, как-то вылетело , что тело самопроизвольно не может падать с ускорением больше $g$

[maisvendoo]

А откуда тут ускорение больше $g$?

Понятие "ускорение тела" отсутствует в механике. Есть линейное ускорение точки тела. И угловое ускорение тела.

Если говорить об ускорении центра масс стержня, то здесь оно направлено вниз и равно 7.36, при $t=0$

[Xey]

maisvendoo в сообщении #803145 писал(а):

А откуда тут ускорение больше $g$?

А разве нет, на свободном конце стержня?
В предельном случае, если представить массу сосредоточенной в центре стержня , то она будет падать с $g$, при этом свобдный конец стержня будет ускоряться быстрее $g.

[maisvendoo]

Ну и что?

Если вся масса сосредоточена в середине стержня, то ускорение конца стержня в начальный момент времени будет равно $2g$, а середины $g$

если стержень вращается вокруг шарнира, то, при $t = 0$
$I\ddot{\varphi} = mg\cfrac{l}{2}$
Момент инерции относительно оси вращения $I = \cfrac{ml^2}{4}$
$\ddot{\varphi}\left(0\right) = \cfrac{2g}{l}$ - угловое ускорение стержня

Для порядочного однородного стержня, при вращении вокруг шарнира в одном из его концов $I = \cfrac{ml^2}{3}$ и $\ddot{\varphi}\left(0\right) = \cfrac{3g}{2l}$

[Xey]

maisvendoo в сообщении #803178 писал(а):

Ну и что?

Если вся масса сосредоточена в середине стержня, то ускорение конца стержня в начальный момент времени будет равно $\cfrac{g}{2}$, а середины $\cfrac{g}{4}$

Почему ? Стержень невесомый , он не тормозит (давайте заменим его лучем лазера). Что помешает массе падать с ускорением свободного падения?

[maisvendoo]

Выше исправился, цитата неактуальна, неправильно посчитал момент инерции...
P.S.: Ох, чет я туплю. Оставлю пока я эту дискуссию, передохну...

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, навскидку

$Z_A\left(0\right) = \cfrac{mg}{1 + \cfrac{4l^2}{r^2}}$

хотя после последних ляпов ни в чем не могу быть уверен...

[Oleg Zubelevich]

я формул не писал, но чтоб не было зависимости от угловой скорости и что бы не было других компонент реакции кроме вертикальной это странно

[maisvendoo]

В начальный момент времени

$\omega_x\left(0\right) = 0, \omega_y\left(0\right) = \Omega, \omega_z\left(0\right) = 0$

где $\Omega$ - угловая скорость вращения диска

Поэтому в уравнении сферического движения относительно центра масс

$I_x\cfrac{d\omega_x}{dt} + \left(I_z - I_y\right)\omega_y \omega_x = Z_Al$

$I_y\cfrac{d\omega_y}{dt} + \left(I_x - I_z\right)\omega_x \omega_z = 0$

$I_z\cfrac{d\omega_z}{dt} + \left(I_y - I_x\right)\omega_x \omega_y = -X_Al$

в левой части все вторые слагаемые уходят

$I_x\cfrac{d\omega_x}{dt} = Z_Al$

$I_z\cfrac{d\omega_z}{dt} = -X_Al$

А вот стоит стержню начать поворачиваться, указанное вращение будет влиять. Это же типичный гироскоп