Помогите пожалуйста решить одно интересное задание

[alexey.z]

Помогите пожалуйста решить одно интересное задание:

Найти максимальное число r такое, что окружность с радиусом r вписана в треугольник, который в свою очередь вписан в единичный квадрат.

-- 18.12.2013, 01:15 --

Забыл упомянуть что данная задача предназначена для школьного курса и её решение не должно содержать дифференциальных исчислений

[fedd]

Хотел решать задачу чисто геометрически, но не сумел. Решил тогда применить численный метод перебора вариантов.
Идея такая: единичный квадрат помещен в начале координат и осуществляется пошаговое перемещение трех точек (направление перемещений показано стрелками). Шаг принял равным 0.01.



Радиус вписанной окружности - это отношение площади треугольника $ABC$ к его полупериметру.

Стороны треугольник вычисляются легко:

$a=\sqrt{(1-y)^2+x_1^2}$

$b=\sqrt{1+(x_1-x)^2}$

$c=\sqrt{x^2+y^2}$

Полупериметр $p=\frac 12 (a+b+c)$

Радиус вписанной окружности

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

Программа простенькая:

r1=0:d=.01
for x=0 to 1 step d
for y=1 to 0 step -d
for x1=1 to 0 step -d
a=sqrt((1-y)^2+x1^2)
b=sqrt(1+(x1-x)^2)
c=sqrt(x^2+y^2)
p=(a+b+c)/2
r=sqrt((p-a)*(p-b)*(p-c)/p)
if r>=r1 then r1=r:x0=x:y0=y:x10=x1:fi
next x1
next y
next x
print x0,y0,x10,r1

Результат счета таков:

$x=0.5\, ; \, y= 1 \, ; \, x_1=1\, ; \, r= 0.309017$

Это означает, что оптимальное решение такое:



где $r_{max}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}$

Получается, что диаметр окружности - суть золотое сечение.
Интересно: на самом деле это так?

[mihailm]

(Оффтоп)

Ну это какой-то прошлый век)
Решать надо в мепле (или в чем подобном)

[fedd]

(Оффтоп)

В позапрошлом веке Пушкин жил. И что?
Лучше бы по-существу высказывались.

[ИСН]

В принципе, это годный метод... если он применяется, чтобы узнать ответ, а уж потом доказать как-то нормально.

[fedd]

Тогда хорошо! Как раз и жду нормального решения, чтобы обогатиться, так сказать, несколькими методами. А то с чистой геометрией у меня дружба не очень ...

[alexey.z]

Самое сложное в этой задаче это доказать что одна сторона треугольника совпадает с стороной квадрата.

[fedd]

Наверное, есть теорема, все упрощающая. Ведь центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Возможно отсюда надо плясать. Кроме того, я уже говорил, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру. Налицо целевая функция оптимизационной задачи.

[alexey.z]

fedd в сообщении #803016 писал(а):

Наверное, есть теорема, все упрощающая. Ведь центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Возможно отсюда надо плясать. Кроме того, я уже говорил, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру. Налицо целевая функция оптимизационной задачи.

С учётом того что задание для средней школы функцию оптимизировать не так уж и легко.

P.S. центр вписанной окружности находится на пересечении серединных перпендикулов.

[fedd]

alexey.z в сообщении #803020 писал(а):

P.S. центр вписанной окружности находится на пересечении серединных перпендикулов.

Нет, это неверно. Вам надо почитать хотя бы тут: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%EF%E8% ... E%F1%F2%FC

[ИСН]

fedd, у Вас всё равно уже написан численный метод. Посмотрите ради смеха, когда при тех же ограничениях будет минимальная описанная окружность?

[gris]

Описанная? Дык... И максимальую, и минимальную трудно сыскать

[fedd]

Давайте не уклоняться в стороны. Мне правда хочется узнать красивый геометрический способ решения. Пока что на ум приходят два очевидных наблюдения:



Первый рисунок меня убедил, что при одинаковой высоте треугольника, наибольшую вписанную окружность имеет только равнобедренный треугольник.
Второй рисунок - альтернативный конкурент. Рассматривал только равнобедренные треугольники, перемещая AB параллельно на северо-восток (красную линию AB я для наглядности сделал равной стороне квадрата, то есть AB=1).
Программа еще проще:

r1=0:d=.000001
x1=1
for x=0 to 1 step d
y=x
a=sqrt((1-y)^2+x1^2)
b=sqrt(1+(x1-x)^2)
c=sqrt(x^2+y^2)
p=(a+b+c)/2
r=sqrt((p-a)*(p-b)*(p-c)/p)
if r>r1 then r1=r:x0=x:y0=y:x10=x1:fi
next x
print x0,y0,x10,r1

Максимум $r=0.303243$ при $x=y=0.834956$
Это чуть-чуть уступило самому первому оптимальному решению (см. мой первый пост).
Впрочем, если бы диаметр окружности оказался больше золотого сечения, то первая прога с легкостью это бы обнаружила.

[alexey.z]

fedd в сообщении #803024 писал(а):

alexey.z в сообщении #803020 писал(а):

P.S. центр вписанной окружности находится на пересечении серединных перпендикулов.

Нет, это неверно. Вам надо почитать хотя бы тут: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%EF%E8% ... E%F1%F2%FC

Примите мои извинения, я ошибся.

[fedd]

Бывает. Я могу популярно объяснить, почему именно пересечения биссектрис дают центр вписанной окружности. Ведь что такое биссектриса? Это луч, который делит угол пополам и, значит, любая точка на биссектрисе равноудалена от правого и левого лучей этого угла. Точка же пересечения биссектрис оказывается равноудаленной от всех сторон треугольника. Никакие другие линии подобным свойством не обладают. Исключение только в равностороннем треугольнике.