Определение градиента, исп. теорему Гаусса, из Зорича!?

[Vince Diesel]

Divergence в сообщении #802690 писал(а):

Хочу получить

Divergence в сообщении #802589 писал(а):

$div \, \vec{u} = \frac{\partial u_r(r)}{\partial r} + \frac{n-2}{r} u_r(r) $

А там точно $n-2$ a не $n-1$?

[Divergence]

Эта это моя опечатка. Должно быть
$div \, \vec{u} = \frac{\partial u_r(r)}{\partial r} + \frac{n-1}{r} u_r(r) $

[Vince Diesel]

Ну, похоже, в первом посте дивергенция и получилась. Умножать на $\vec{e}_r$, а потом выносить за интеграл это как? Вектор же от точки зависит. Убрать и получится, что надо.

[Divergence]

Дивергенция получалась, но дивергенция определяется для шара, радиус которого надо устремить к нулю, а не сферического слоя радиуса $r$. Вторая трудность - Используя сферический слой для градиента у меня не получалось стандартное выражение.

Если вас я правильно понимаю, то для градиента
$\int_{\partial V} f(r) d \vec{S} = \int_{S(r+\Delta r)} f(r) d \vec{S} - \int_{S(r)} f(r) d \vec{S} =$
$= f(r+\Delta r) \int_{S(r+\Delta r)} d \vec{S} - f(r) \int_{S(r)} d \vec{S} $

А чему равен интеграл $\int_{S(r)} d \vec{S} = ? $

Что-то типа $\int_{S(r)} d \vec{S} = 4 \pi \int^{r}_0 \frac{\vec{r}}{r} \, r dr = 4 \pi \int^{r}_0 \vec{r} \, dr = ? $
А дальше что?

[Munin]

Divergence в сообщении #802841 писал(а):

Используя сферический слой для градиента у меня не получалось стандартное выражение.

И не получится. Потому что вы не понимаете, что такое градиент. Для начала подумайте, куда он должен быть для вашей функции направлен.

[Divergence]

Уважаемый Munin.
То что вы написали в топике topic77894.html про сферический слой для дивергенции - верно или нет? А?

Градиент направлен туда $grad \, f(\vec{r}) = \vec{e}_r \, \frac{\partial f(r)}{\partial r}$.

[Munin]

Ну-ка, и куда же направлен $\vec{e}_r$ в точке $r=0$?

[Divergence]

Уважаемый Munin.
Ваш метод вычисления дивергенции в топике topic77894.html из сферического слоя, а не из шара - верен или нет?

[Munin]

Верен исключительно в условиях, когда векторное поле не зависит от углов, и направлено по радиусу. И разумеется, в точке $r=0$ он непригоден.

[Vince Diesel]

Divergence в сообщении #802841 писал(а):

Дивергенция получалась, но дивергенция определяется для шара, радиус которого надо устремить к нулю, а не сферического слоя радиуса $r$. Вторая трудность - Используя сферический слой для градиента у меня не получалось стандартное выражение.

Если вас я правильно понимаю, то для градиента
$\int_{\partial V} f(r) d \vec{S} = \int_{S(r+\Delta r)} f(r) d \vec{S} - \int_{S(r)} f(r) d \vec{S} =$
$= f(r+\Delta r) \int_{S(r+\Delta r)} d \vec{S} - f(r) \int_{S(r)} d \vec{S} $

А чему равен интеграл $\int_{S(r)} d \vec{S} = ? $

Что-то типа $\int_{S(r)} d \vec{S} = 4 \pi \int^{r}_0 \frac{\vec{r}}{r} \, r dr = 4 \pi \int^{r}_0 \vec{r} \, dr = ? $
А дальше что?

Зачем это все? Для дивергенции в пределе выходит среднее значение по поверхности сферы. А так как она скалярна и на сфере постоянна, то получается правильный ответ. А среднее значение по сфере от радиального векторного поля равно нулю. Так что такая схема не подходит. Вроде как.