Площадь эллипса с помощью производной

[Kink]

$x^2+(3/2)xy+y^2<=7/16$
Дана формула $S=ab\pi$
Решить надо с помощью производной.

Как я понял, $a=max(\sqrt{x^2+y^2})$, $b=min(\sqrt{x^2+y^2})$.
Но... как дальше?

[Sender]

Kink в сообщении #802591 писал(а):

геометрию использовать нельзя

Но ведь эллипс - геометрическое понятие. Следовательно, задача решения не имеет.

[Kink]

Sender в сообщении #802598 писал(а):

Kink в сообщении #802591 писал(а):

геометрию использовать нельзя

Но ведь эллипс - геометрическое понятие. Следовательно, задача решения не имеет.

Ладно, придирка засчитана Поправил немного свой пост.

[svv]

Совет: находите точки экстремума $x^2+y^2$, без корня. Они совпадают с точками экстремума $\sqrt{x^2+y^2}$.

Задача на условный экстремум.
Найти точки экстремума функции двух переменных
$f(x, y)=x^2+y^2$
при условии
$g(x, y)=x^2+\frac 3 2 xy+y^2-\frac 7{16}=0$.

Затем легко найдете $a$ и $b$.

[bot]

Kink в сообщении #802591 писал(а):

$a=max(\sqrt{x^2+y^2})$, $b=min(\sqrt{x^2+y^2})$

Очевидно максимума не существует, а минимум равен нулю. Попробуйте к этим формулам подобрать дополнительные нужные слова.

Наводящие вопросы:
1) Что означают в Вашей формуле символы $a$ и $b$?
2) Как можно их найти с помощью производной?

[Kink]

Так, значит я выражаю $y^2=\frac 7{16}-x^2-\frac 3 2 xy$, подставляю в уравнение $F(x,y)=x^2+y^2$, получаю $F(x,y)=\frac 7{16}-\frac 3 2 xy$, отсюда $y(x)=\frac 7{24x}$,
$y'(x)=-\frac 7{24x^2}$... Но это не может быть равно нулю, где я ошибаюсь?

[svv]

А у Вас темы «дополнительные нужные слова», о которых спрашивал bot, еще не было?
В моем предыдущем сообщении я один раз написал явно, второй раз намекнул.

Ошибка у Вас в том, что Вы не выразили $y$ через $x$ (вернее, недовыразили, $y$ остался в правой части). Но в любом случае это кустарный метод. Тема была?

[Kink]

svv в сообщении #802731 писал(а):

А у Вас темы «дополнительные нужные слова», о которых спрашивал bot, еще не было?

Немного недохожу, что скрыто под этими словами. Условие $x^2+\frac 3 2 xy+y^2-\frac 7{16}=0$? Но это я использовал в своём последнем сообщении, значит — нет. Наверное, нет, не было такой темы, раз недохожу.

[svv]

Тема — «Условный экстремум». Множители Лагранжа и все такое. Не было?

[Kink]

svv в сообщении #802742 писал(а):

Тема — «Условный экстремум». Множители Лагранжа и все такое. Не было?

Нет.

[svv]

Тогда, пользуясь условием $g(x,y)=0$, выражайте $y$ через $x$, но так, чтобы в правой части $y$ не было.
Посмотрите на условие как на квадратное уравнение относительно $y$.

[Kink]

$y^2+(3/2)xy+x^2-7/16=0$
$D=(9/4)x^2-4(x^2-7/16)=(7/4)(1-x^2)$
$y=(-(3/2)\pm\sqrt{(7/4)(1-x^2)})/2$

$y^2=x^2+2-7x^2/16\pm3\sqrt{(7/4)(1-x^2)}/4$

$y'(x)=2x-(7/8)x\pm21x/(16\sqrt{(7/4)(1-x^2)})=(18\sqrt{(7/4)(1-x^2)}\pm21x)/(16\sqrt{(7/4)(1-x^2)})$
$18\sqrt{(7/4)(1-x^2)}\pm21x=0$
$x=\pm\sqrt{63/112}$ (здесь перед корнем плюс/минус)
Как я понимаю, я таким образом нашёл только два максимума или минимума (потом проверю через вторую производную), но при этом они позволяют найти только либо $a$, либо $b$, мне кажется, я что-то упустил?

[Otta]

Kink в сообщении #802777 писал(а):

(здесь перед четвертым слагаемым должен быть плюс/минус, дальше такие заметки опускаю)

Не надо опускать, лучше пишите в формулу, неужели в FAQ нет? \pm

[Kink]

Otta в сообщении #802792 писал(а):

Kink в сообщении #802777 писал(а):

(здесь перед четвертым слагаемым должен быть плюс/минус, дальше такие заметки опускаю)

Не надо опускать, лучше пишите в формулу, неужели в FAQ нет? \pm

Спасибо, исправил. А что насчёт самой задачи?

[provincialka]

Можно имитировать нахождение условного экстремума, не разрешая явно уравнение-условие. Ясно, что из уравнения можно выразить $y=\varphi(x)$. Даже если мы не выпишем ее явно, можно найти ее производную, дифференцируя условие $x^2+\frac32xy+y^2=\frac7{16}$. Полученное выражение подставить в производную $\frac{d}{dx}z=z'_x+z'_yy'_x$ и приравнять 0.