Определение градиента, исп. теорему Гаусса, из Зорича!?

[Divergence]

Определение градиента, базирующееся на векторном варианте формулы Гаусса, взятое из
Зорич В.А. "Математический анализ. Часть II" М.: Наука, 1984. стр. 278. [Глава XIV. Параграф 2. Формула (12)]:
$grad \, f(\vec{r}) = \lim_{V \to 0} \ \frac{1}{V} \int_{\partial V} f(\vec{r}) d \vec{S}.$

Рассмотрим случай сферической симметрии, когда функция не зависит от углов $f(\vec{r})=f(r)$, где $r=|\vec{r}|$.

Возьмем тонкий сферический слой $(r;r+\Delta r)$, тогда $\vec{S} = \vec{e}_r dS$, где $\vec{e}_r=\vec{r}/ |\vec{r}|$; и
$V=(4\pi/3)(r+\Delta r)^3- (4 \pi/3)r^3 = 4 \pi r^2 \, \Delta r+ O((\Delta r)^2) $.

$\int_{\partial V} f(r) d \vec{S} = \vec{e}_r \int_{S(r+\Delta r)} f(r) d S - \vec{e}_r \int_{S(r)} f(r) d S =$
$= \vec{e}_r \Bigl( f(r+\Delta r) S(r+\Delta r) - f(r) S(r) \Bigr)= $
$=\vec{e}_r \Bigl( (f(r) + \frac{\partial f(r)}{\partial r} \Delta r + O((\Delta r)^2) \, 4 \pi (r^2+ 2r\Delta r+ \Delta r^2) - f(r) 4 \pi r^2 \Bigr)=$
$= \vec{e}_r \, \Bigl( 4 \pi r^2 \frac{\partial f(r)}{\partial r} + 8 \pi r f(r) \Bigr) \Delta r + O((\Delta r)^2) $.

Получаем
$grad \, f(\vec{r}) = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{1}{V} \int_{\partial V} f(r) d \vec{S} = \vec{e}_r \, \Bigl( \frac{\partial f(r)}{\partial r} + \frac{2}{r} f(r) \Bigr) $.
При этом известно, что должно быть
$grad \, f(\vec{r}) = \vec{e}_r \, \frac{\partial f(r)}{\partial r}$.
Непонятно где ошибка? В определении Зорича?

[Vince Diesel]

Не $\Delta r\to 0$, а $ r\to 0$. И интеграл по поверхности, а не по тонкому слою. А у функции, зависящей только от радиуса, производная в нуле равна нулю или не существует.

[Munin]

В оригинале у Зорича формула выглядит иначе:

$$\nabla f(x)=\lim_{d\to 0}\dfrac{\int\limits_{\partial V(x)}d\pmb{\sigma}\,f}{V(x)}$$

Здесь видно, что всё совсем иначе, чем при вашей ошибочной интерпретации:
1) Явно указано, что к нулю стремится не просто величина объёма $V(x),$ а диаметр этого объёма $d.$
2) Точка, в которой берётся градиент (здесь обозначенная $x$) не входит как аргумент в подынтегральную функцию, а входит как параметр в выбираемый объём $V(x),$ таким образом, что этот объём содержит эту точку.

[Divergence]

Munin в сообщении #802543 писал(а):

В оригинале у Зорича формула выглядит иначе:

$$\nabla f(x)=\lim_{d\to 0}\dfrac{\int\limits_{\partial V(x)}d\pmb{\sigma}\,f}{V(x)}$$

У Зорича (Формула (6') рядом с (12)) определение дивергенции выглядит аналогично:

$$div \, \pmb{B}(x)=\lim_{d\to 0}\dfrac{\int\limits_{\partial V(x)}d\pmb{\sigma}\,\pmb{B}}{V(x)}$$

и там также применимы ваши утверждения

Munin в сообщении #802543 писал(а):

1) Явно указано, что к нулю стремится не просто величина объёма $V(x),$ а диаметр этого объёма $d.$
2) Точка, в которой берётся градиент (здесь обозначенная $x$) не входит как аргумент в подынтегральную функцию, а входит как параметр в выбираемый объём $V(x),$ таким образом, что этот объём содержит эту точку.

Однако используя предложенный вами метод (см цитату из топика topic77894.html ниже) для $\pmb{A}=A_r(r) \vec{e}_r$ где $\vec{e}_r=\vec{r}/r$,
который я и скопировал для градиента, получаем верный результат для дивергенции:
$div \, A(\vec{r}) = \frac{\partial A_r(r)}{\partial r} + \frac{2}{r} A_r(r) $.

Смотрите topic77894.html Цитирую вас:
"Когда $\vec{u}$ направлен только по радиусу, то он имеет вид $\vec{u}=\tfrac{u(r)}{r}\vec{r},$ где $u(r)$ - произвольная функция.
Теперь, зная, что $\Delta\vec{u}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{u},$ можно взять тонкий сферический слой $(r,r+dr),$ и проинтегрировать по нему дивергенцию:

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,dV=\oint\limits_{\text{граница слоя}}\vec{u}\,d\vec{S}$$

$$\int\limits_{r}^{r+dr}\operatorname{div}\vec{u}\,\,4\pi r^2dr=\biggl(\int\limits_{@\,r+dr}d\vec{S}-\int\limits_{@\,r}d\vec{S}\biggr)\vec{u}=4\pi(r+dr)^2(u+u'dr)-4\pi r^2u=4\pi(2ur+r^2u')dr$$

Теперь, поскольку всё сферически-симметрично, разделив на площадь сферы, можно найти и саму $\operatorname{div}\vec{u}.$".

У вас $dr$ (мое $\Delta r$) стремиться к нулю, а не диаметр этого объема ($d \to 0$ или $r \to 0$).

Почему для дивергенции ваш подход дает правильное выражение, а мое повторение вашего подхода для градиента дает ошибку, хотя определения градиента и дивергенции у Зорича аналогичны.
Может неверен ваш метод для дивергенции.
Тогда как его следует изменить, чтобы получать более корректно дивергенцию из теоремы Гаусса для $\vec{u}=u_r(r) \vec{e}_r$, а за одно и для градиента ?

[Munin]

Это не мой подход. Я предлагал вам эти формулы для другой задачи, а для вашего бреда их приспосабливать стали именно вы.

[Divergence]

Для этой другой задачи мне и нужно.
Мне предложенный вами метод (для той другой задачи) понравился, но потом у меня закралось сомнение - можно ли использовать для решения той другой задачи тонкий сферический слой, тогда как в книгах в определении дивергенции наверно стоило использовать шар.

Сейчас я так и не понял вас.
То что вы написали в топике topic77894.html для дивергенции - верно или нет?
Если нет, то как мне это нужно это изменить чтобы корректно решить ту другую задачу?

Как корректно вывести в $\mathbb{R}^n$ выражение (используя теорему Гаусса) для дивергенции векторного поля $\vec{u}=u_r(r) \vec{e}_r$, где $\vec{e}_r=\vec{r}/r$, и получить
$div \, \vec{u} = \frac{\partial u_r(r)}{\partial r} + \frac{n-2}{r} u_r(r) $ ?

[Munin]

Для начала, вам надо понять, что такое дивергенция, а что такое градиент.

[Divergence]

Munin в сообщении #802619 писал(а):

Для начала, вам надо понять, что такое дивергенция, а что такое градиент.

Можно взять определение из Зорича. Оно довольно стандартное.

$$div \, \pmb{u}(x)=\lim_{d\to 0}\dfrac{\int\limits_{\partial V(x)}d\pmb{S}\,\pmb{u}}{V(x)}$$

[Munin]

Вам нужно не взять определение. Вам нужно понять, что это такое. Кстати, эти формулы в Зориче - отнюдь не определения. Определения там совсем другие (гл. 14 § 1.3, формулы (9)-(11)):

$$d\omega^0_f\mathrel{{=}{:}}\omega^1_{\operatorname{grad}f},$$

$$d\omega^1_{\boldsymbol{A}}\mathrel{{=}{:}}\omega^2_{\operatorname{rot}\boldsymbol{A}},$$

$$d\omega^2_{\boldsymbol{B}}\mathrel{{=}{:}}\omega^3_{\operatorname{div}\boldsymbol{B}}.$$

Не уверен, что они вам вообще понятны. Так что лучше взять определения из другого учебника матанализа.

[Oleg Zubelevich]

Надо просто рассмотреть самый тривиальный вариант и тогда остальное станет очевидным. Пусть у нас функция на плоскости с совмещенными системами полярной и декартовой:

$$f(r\cos\psi,r\sin\psi)=f(0)+f_x(0)r\cos\psi+f_y(0)r\sin\psi+O(r^2),\quad r\to 0,\quad x=r\cos\psi,\quad y=r\sin\psi$$

кроме того $e_r=(\cos\psi,\sin\psi)$.

Вот и посчитайте интеграл почленно $\frac{1}{\pi r^2}\int_0^{2\pi}f(r\cos\psi,r\sin\psi)e_rrd\psi$
а потом перейдите к пределу $r\to 0$.
В исходной задаче -- тоже самое+ некоторые рассуждения про то, почему вместо "произвольного" объема взяли шар.

[Divergence]

Уважаемый Munin.
То что вы написали в топике topic77894.html про сферический слой для дивергенции - верно или нет? А?

Уважаемый Oleg Zubelevich - Спасибо за пример.
Однако меня интересует случай $\mathbb{R}^n$ и поля не зависящего от углов, то есть
$\vec{u}=u_r(r) \vec{e}_r$ в $\mathbb{R}^n$, где $\vec{e}_r=\vec{r}/r$ и $r=|{\bf r}|$

[Oleg Zubelevich]

если это про дивергенцию, то надо формулу Стокса применить, потом -- тоже самое: формула Тейлора, предельный переход. Интегралы по шару надо представлять как произведение интеграла по единичной сфере и интеграла в радиальном направлении

[Divergence]

Формула Стока даст в интеграле числителя дивергенцию, которую и требуется найти.
Не совсем понял ваш совет.

[Oleg Zubelevich]

что значит найти? вы ничего не ищете , вы равенство проверяете

[Divergence]

Хочу получить

Divergence в сообщении #802589 писал(а):

$div \, \vec{u} = \frac{\partial u_r(r)}{\partial r} + \frac{n-2}{r} u_r(r) $

То есть слева дивергенция, а справа выражение содержащее явную зависимость от размерности.