2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Олимпиада НГУ - 2007
Сообщение30.09.2007, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Олимпиада НГУ - 2007 (1-3 курс). Воскресенье 30 сентября.

1) Сколько точек с целыми координатами и с расстояниями, кратными 7 до начала координат, расположены в круге $x^2+y^2 \le 111^2$?

2) Найти все действительные корни уравнения $x=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+2}}}}}$

3) Пусть $a$ и $b$ --- положительные числа, $n$ --- натуральное. Доказать, что

$(n+1)(a^{n+1}+b^{n+1})\geq (a+b)(a^{n}+a^{n-1}b+ \dots +b^{n})$

4) Пусть функция $f$ --- монотонно возрастающая в нестрогом смысле на отрезке $[0,1]$ функция. Доказать, что $$\int_0^1 f(x)dx \le 2\int_0^1 xf(x)dx $$

5) Последовательность $x_n$ задана рекуррентной формулой: $x_1 = a, \ \ x_{n+1}= \frac{100}{n}+\sin x_n$

Доказать, или опровергнуть, что она сходится при любом $a\in \mathbb{R}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 10:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Задачи простые. На решение в уме ушло 5-6 мин. на всё.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Помнится в прошлом году тоже начали с оценки тривиально.

Нет проблем дать задачу, которую за 4 часа не решит ни один младшекурсник.
Гораздо сложнее составить сбалансированный вариант, имеющий целью подбор команды для следующего тура.
С этой точки зрения не имеет смысла включать как всеми решаемые задачи, так и задачи, которые не решит никто.
Только что закончили проверку - расслоением вполне удовлетворён.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 20:15 
Заслуженный участник


01/12/05
458
А как 3ю без индукции решить? Что-нибудь совсем простое должно быть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 20:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
3-я решается легко дифференцированием, например поделим на меньшее в n+1 - ой степени и обозначив за х отношение большей на меньшее и умножив на (x-1) получим P(x)>=0 при х>=1. При этом P(1)=P'(1)=0, P''(x)>0, что и доказывает. Есть и другие методы решения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 20:50 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Это не намного отличается от индукции в том смысле, что не показывает суть неравенства, то есть как его можно получить, не зная изначально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 20:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Вряд ли индукцией проще. Тут дифференцированием есть ещё одно преумещество, доказывается не только для натуральных n, но и для произвольных действительных n>=1 доопределив $a^n+a^{n-1}b+...+b^n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ (правая часть определена при любых действительных n).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 21:42 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Мне все же кажется, что должно быть несложное "конструктивное" решение, позволяющее получить неравенство путем последовательных оценок при данной только левой или правой части.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 06:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Юстас писал(а):
Мне все же кажется, что должно быть несложное "конструктивное" решение, позволяющее получить неравенство путем последовательных оценок при данной только левой или правой части.

$(a^{k}-b^{k})(a^{n+1-k}-b^{n+1-k}) \geq 0, \; k=0,...,n+1$
$a^{n+1}+b^{n+1} \geq  a^{n+1-k}b^k+a^kb^{n+1-k}$
Сложить эти неравенства будет конструктивно?
(Первым пришло решение с дифференцированием)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 06:57 
Заслуженный участник


01/12/05
458
TOTAL писал(а):
$a^{n+1}+b^{n+1} \geq  a^{n+1-k}b^k+a^kb^{n+1-k}$

А это откуда?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 07:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Юстас писал(а):
TOTAL писал(а):
$a^{n+1}+b^{n+1} \geq  a^{n+1-k}b^k+a^kb^{n+1-k}$

А это откуда?

Посмотрите чуть выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 07:23 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Да, спасибо, это и есть то конструктивное решение, которое я хотел увидеть.

 Профиль  
                  
 
 Comments on 1 and 3
Сообщение01.10.2007, 20:20 
Аватара пользователя


08/06/07
52
Киев
Третья - это задачка на неравенство Мюрхеда
$a^kb^{n-k}+a^{n-k}b^k \ge a^lb^{n-l}+a^{n-l}b^l$, где $a,b \ge 0,\ 0 \le k \le l \le n/2$. Оно обобщается на любое количество переменных, но здесь это не нужно. :)

Мне понравилась задачка 1. Желательно применить неочевидный факт, что если $a^2+b^2$ делится на простое $p=4k+3$, то a и b в отдельности делятся на p. Для p=7 это проверяется несложным перебором. Но догадаться до такого упрощения, не зная соответствующую теорему теории чисел, не очень просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Comments on 1 and 3
Сообщение02.10.2007, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Sasha Rybak писал(а):
Третья - это задачка на неравенство Мюрхеда ...
Мне понравилась задачка 1. Желательно применить неочевидный факт, что если $a^2+b^2$ делится на простое $p=4k+3$, то a и b в отдельности делятся на p. Для p=7 это проверяется несложным перебором. Но догадаться до такого упрощения, не зная соответствующую теорему теории чисел, не очень просто.

Третья и предполагалась как многовариантная в смысле решений. Если через дифференцирование, то это поиск экстремума непрерывной функции на отрезке [0,1]. Решений было много, в том числе и индукцией.
В первой сама постановка неминуемо должна привести к исследованию делимости на 7 суммы квадратов, так что догадаться до упрощения несложно. А 7 было выбрано, чтобы не осложнять возможность перебора остатков. Первый курс ещё не знает квадратичных вычетов, а 2-3 уже подзабыли.
Меня интересует мнение по поводу последней. Сложной её, конечно, не назовёшь - два простых хода. Но что-то мне не показались эти ходы совсем уж простыми, потому и поставил задачу на 5-е место. Результат проверки подтвердил - она оказалась самой нерешаемой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2007, 07:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Сразу получаем, что $0\le x_{101}\le 2$, соответственно, дальше sin всегда положителен и начиная с n=200 последовательность монотонно убывает до 0 в пределе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group