Вычислить матожидание

[vlad_light]

(Оффтоп)

Пусть $\alpha = (\mu ,\sigma ^2)^T$ и

$$\eta \sim N(\frac {\mu \sigma _\delta ^2+x\sigma ^2}{\sigma _\delta ^2+\sigma ^2},\frac {\sigma _\delta ^2\sigma ^2}{\sigma _\delta ^2+\sigma ^2})$$

Нужно найти (или доказать, что такого не существует) многочлен $p(x;n)=\sum \limits _{m = 0}^nc_mx^m$, чтоб для любого $k\in \mathbb N$ выполнялось равенство:

$$\frac {\partial}{\partial \alpha} \int \limits _{\mathbb R}p(z;n)\exp (kz)\rho _\eta (z;\alpha )dz=\overrightarrow a(\mu, \sigma^2 ,\sigma _\delta ^2)\int \limits _{\mathbb R}p(z;n)\exp (kz)\rho _\eta (z;\alpha )dz,$$

где $\overrightarrow a$ - произвольный вектор ($\dim \overrightarrow a = \dim \alpha$).
Я доказал это утверждение для $\alpha = (\mu )$. Тогда в качестве многочлена $p$ можно взять просто константу.

Подскажите, пожалуйста, можно ли в явном виде выразить $E[X^k e^{tX} ]$, где $X\sim N(\mu ,\sigma ^2), k,t\in\mathbb N$?

[Евгений Машеров]

Посмотрите логнормальное распределение и его моменты.

[vlad_light]

Я, скорее всего, чего-то недопонимаю, но не могли бы Вы написать зависимость логнормального распределения и приведённого мной матожидания?

[Евгений Машеров]

Величина $e^X$, где X имеет распределение $N(\mu,\sigma^2)$ является логарифмически нормально распределённой.
Множитель t в показателе приводит лишь к замене параметров на $M=t\mu$ и $S^2=t^2\sigma^2$ соответственно.
А начальные моменты логнормального распределения k-того порядка есть $E(X^k)=e^{kM+\frac{k^2S^2} 2}$

[vlad_light]

$X\sim LN, Y\sim N: E(X^k)=E((e^Y)^k)=E(e^{kY})\neq E(Y^ke^Y)$ правильно?

-- Пн дек 16, 2013 18:30:31 --

У меня получилось, что $E[X^ke^{tX}]=\exp (t\mu +\frac 12t^2\sigma ^2)E[(N(\mu +t\sigma ^2,\sigma ^2))^k]$ правильно?

[--mS--]

Оба раза правильно.

[Евгений Машеров]

Был неправ. Сорри.