Предел

[provincialka]

Для сапога не доказано существование предела. А для интеграла - доказано, и критерий есть, и классы интегрируемых функций.

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #802407 писал(а):

Для сапога не доказано существование предела.

Поясните?

[Urnwestek]

Пусть $0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=1$ — разбиение отрезка $[0,1]$ отрезок $[x_{i-1},x_i] = \Delta_i$ его длина $\Delta x_i = x_i-x_{i-1}$ и множество точек $\zeta_i \in \Delta_i$, всё это обозначим символом $(P,\zeta)$ (где $P$ — это множество точек $x_i$ а $\zeta$ — множество точек $\zeta_i$. $(P,\zeta)$ назовём разбиением отрезка с отмеченными точками.
Пусть $\lambda(P)=\min\limits_{i=1..n} \Delta x_i$
Пусть множество разбиений отрезка $[0,1]$ с отмеченными на них точками — $\rho$.
Пусть $(P_n,\zeta) \in \rho$ — то самое фиксированное разбиение отрезка c отмеченными точками, которое $(0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, ..., \frac{n-1}{n}, 1)$ c отмеченными точками $\frac{1}{n}$ на отрезке $[0,\frac{1}{n}]$, $\frac{2}{n}$ на отрезке $[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]$ и так далее. Пусть $U = \{P_1,P_2,P_3,... \}$.
Пусть $B_n = \{P_n, P_{n+1}, P_{n+2}, ...\}$ А $\mathbf{B}_x = \{ B_1, B_2, B_3, ...\}$ Очевидно, что $\mathbf{B}_x$ — база в $U$.
Пусть $B_p$ — множество всех разбиений отрезка из $\rho$ таких что $\lambda(P) < p$, а $\mathbf{B}_y = \bigcup\limits_{p \in \mathbb{R}_+} B_p$. Очевидно, что $\mathbf{B}_y$ — база в $\rho$.
Пусть $\sigma_f : \rho \to \mathbb{R}$ — интегральная сумма, то есть $\sigma_f(P,\zeta) = \sum\limits_{i=1}^n \Delta x_i f(\zeta_i) $

Итак, имеем $\operatorname{id} : U \to \rho$, $\sigma : \rho \to \mathbb{R}$, и для любого $B_y \in \mathbf{B}_y$ найдется элемент $B_n$ базы $\mathbf{B}_x$ такой что $id(B_n) \subset B_y$ (например таким элементом может стать $B_{[\frac{1}{y}]+1}$).
Из того что существует предел $\lim\limits_{\mathbf{B}_y} \sigma_f(P,\zeta)$ делаем вывод, по теореме о пределе композиций, что существует и предел $\lim\limits_{\mathbf{B}_x} \sigma_f(\operatorname{id}(P,\zeta))$. При этом $\lim\limits_{\mathbf{B}_y} \sigma_f(P,\zeta)=\lim\limits_{\mathbf{B}_x} \sigma_f(\operatorname{id}(P,\zeta))$ Q.E.D.

Фух. Теперь я понимаю, как чувствовали себя Бурбаки. (:

[provincialka]

Dan B-Yallay
Нет, неаккуратно выразилась. Для сапога доказана бесконечность предела. Не доказано, что любое разбиение такого типа приводит к суммам, имеющим один и тот же предел. (разбиение на части, у которых кусочки секущих плоскостей имеют размеры (диаметры) стремящиеся в совокупности к 0). Ну, может коряво, хотела все в одну фразу засунуть. То есть для цилиндра разные вписанные многогранники могут иметь разный предел площади, а для интеграла (от интегрируемой функции) предел по всем разбиениям один.

[Otta]

Urnwestek
Жуть какая.
А что написано по сути? Что из того, что предел интегральных сумм существует на множестве всех разбиений следует, что существует и предел сужения интегральных сумм на некоем подмножестве этих разбиений. Это как-то совсем очевидно, особенно если отвлечься от специфики: чего именно и какой предел считается.

Далее, набор $\zeta$ не обязан быть отмеченными точками разбиения $P$. Далее, он у Вас фиксированный, а в определении требуется независимость предела инт. сумм от выбора точек разбиения.

И самое главное, все это абсолютно незачем. Известно (из общих теорем), что полученные Вами интегралы действительно существуют, а значит, и предел интегральных сумм для разбиений конкретного вида (с диаметром, стремящимся к нулю) при любом выборе отмеченных точек действительно равен интегралу.

[provincialka]

Otta, спасибо! А то меня уже поколебали в вере в очевидное!

[Urnwestek]

Про фиксированность нефиксиривоннасть не понял. В $U$ он фиксирован как раз из-за того, что я и пытаюсь доказать, что предел по тем фиксированным разбиениям, которые у меня в задаче равен пределу по любым разбиениям, а в $\rho$ он вроде как и не фиксирован. Про то что $\zeta$ не обязан быть отмеченными точками разбиения $P$ не понял вдвойне, вроде как по определению обязан.

Насчёт очевидности согласен, да в принципе у меня и написано как раз то, что вы и сказали, там половину занимают предварительные определения, а ключевая идея та же самая всё же; так, заняться было нечем. (:

[Otta]

Urnwestek в сообщении #802429 писал(а):

Про фиксированность нефиксиривоннасть не понял. В $U$ он фиксирован как раз из-за того, что я и пытаюсь доказать, что предел по тем фиксированным разбиениям, которые у меня в задаче равен пределу по любым разбиениям, а в $\rho$ он вроде как и не фиксирован. Про то что $\zeta$ не обязан быть отмеченными точками разбиения $P$ не понял вдвойне, вроде как по определению обязан.

А тут вот какая штука: у Вас $\zeta$ фигурирует в двух местах. Я увидела только второе:

Urnwestek в сообщении #802413 писал(а):

Пусть $(P_n,\zeta) \in \rho$ — то самое фиксированное разбиение отрезка c отмеченными точками, которое $(0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, ..., \frac{n-1}{n}, 1)$ c отмеченными точками $\frac{1}{n}$ на отрезке $[0,\frac{1}{n}]$, $\frac{2}{n}$ на отрезке $[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]$ и так далее.

Тогда обозначьте этот набор как-то по-другому, $\zeta_n$, что ли. И понадобятся сопутствующие коррективы.

provincialka
Не за что. Тем более, что ewert чуть выше писал то же самое.

[Urnwestek]

Да, там и элементы разных баз одинаково обозначаются, не сильно хорошо написано.
Вообще, кстати, было бы логично дать определение «$\mathbf{B}$ подбаза базы $\mathbf{F}$», если для любого $F \in \mathbf{F}$ найдётся найдется $B \in \mathbf{B}$ такое, что $B \subset F$. Тогда, очевидно, предел по подбазе равен пределу по базе (если предел по базе существует), и доказательство звучало бы так «любая последовательность разбиений, у которой параметр разбиения стремится к нулю порождает подбазу в базе всех разбиений». Я слышал, что все эти базы из топологии и ТМ пошли, может там что-то такое и есть...

[Otta]

Urnwestek в сообщении #802436 писал(а):

Вообще, кстати, было бы логично дать определение «$\mathbf{B}$ подбаза базы $\mathbf{F}$»

Есть определение более сильной и более слабой базы, а также эквивалентных баз. Это как раз то, о чем Вы говорите. Кстати, возможно даже в Зориче есть.

[SpBTimes]

Кстати, я имел в виду, конечно, непрерывность функции. Стоило отойти, а вы тут в сапоги полезли...

[provincialka]

SpBTimes Слава богу! А то у меня голова кругом пошла от этих сапог!

[Urnwestek]

SpBTimes в сообщении #802522 писал(а):

Кстати, я имел в виду, конечно, непрерывность функции. Стоило отойти, а вы тут в сапоги полезли...

Разве то же самое не будет верно для любой интегрируемой функции?

[provincialka]

Urnwestek, так интегрируемость еще доказать надо. Самый простой спомоб - вспомнить классы интегрируемых функций

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #802693 писал(а):

Urnwestek, так интегрируемость еще доказать надо. Самый простой спомоб - вспомнить классы интегрируемых функций

Но и при том самый вредный. Какие такие классы?... -- и причём тут сапоги?...

Разговор давно уж ушёл в глубокий оффтоп (не говоря уж о ТС, который ещё раньше ушёл вообще невесть куда). Вот и я туда, пожалуй, отправлюсь.