Предел

[Urnwestek]

Найти при помощи интеграла:
$\lim\limits_{n \to \infty} [\frac{n}{(n+1)^2} + ... + \frac{n}{(2n)^2}];$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1^\alpha + 2^\alpha + ... + n^\alpha}{n^{\alpha+1}}, \alpha \geqslant 0$

Вроде как понятно, что нужно брать что-то типа
а)$\lim\limits_{x \to \infty} \int_1^x \frac{x}{(x+t)^2}dt$
б)$\lim\limits_{x \to \infty} \int_1^x \frac{t^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} dt$

Но как это можно строго обосновать?

[Otta]

Не. Зачем. Будут обычные римановы интегралы по фиксированному отрезку. $1/n$ вынесите в каждом выражении, может, виднее будет.

Это стандартная задача на определение интеграла Римана: выписать определение и посмотреть, кого кем назначить.

[Urnwestek]

Да, кажись понял, во втором будет $\lim\limits_{\lambda(P) \to 0} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{k}{n})^{\alpha} \frac{1}{n} = \int_0^1 x^{\alpha} dx$. В первом ещё подумаю, но вроде тоже понятно. Спасибо.

-- 16.12.2013, 02:25 --

$\lim\limits_{\lambda(P) \to 0} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{1+(\frac{k}{n})})^2 \frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \frac{1}{2} $

[SpBTimes]

Надо только уметь обосновывать, почему сходится именно к интегралу

[Urnwestek]

SpBTimes в сообщении #802256 писал(а):

Надо только уметь обосновывать, почему сходится именно к интегралу

Ну, по определению, какие ещё обоснования нужны? (:

[SpBTimes]

По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)

[Urnwestek]

SpBTimes в сообщении #802297 писал(а):

По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)

А, ну то такое. Теорема о пределе композиции.

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #802297 писал(а):

По определению предел сходится к интегралу, если он не зависит от способа дробления и выбора точек. У вас способ весьма фиксирован, как и точки :)

Разве? Если интеграл существует (а от непрерывной функции он существует) то любая последовательность интегральных сумм, мелкость которой стремится к 0, сходится к нему. Зачем здесь другие дробления?

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #802332 писал(а):

Разве? Если интеграл существует (а от непрерывной функции он существует) то любая последовательность интегральных сумм, мелкость которой стремится к 0, сходится к нему. Зачем здесь другие дробления?

Имеется в виду Сапог Шварца

[provincialka]

Он же двумерный, при чем тут?

[ewert]

provincialka в сообщении #802373 писал(а):

Он же двумерный,

Вообще-то даже трёхмерный. Но что сапогов в одномерной продаже не встречается -- то да.

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #802373 писал(а):

Он же двумерный, при чем тут?

Это чтобы сразу выработать универсальный подход во всех измерениях.
А то человек обобщит одномерное, начнет писать программки, а они врут ...

[provincialka]

ewert в сообщении #802377 писал(а):

Вообще-то даже трёхмерный.

Вложен в трехмерное пространство, но используется для "определения" площади двумерной поверхности (парадоксального).

Но здесь же не то. Интеграл - это предел интегральных сумм при мелкости, стремящейся к нулю. А у записанной суммы тоже мелкость стремится к 0. Тут нет лазейки для ошибки.

[ewert]

provincialka в сообщении #802386 писал(а):

Вложен в трехмерное пространство, но

Ну, понимаете, без этой вложенности и сапожной проблемы бы не было. Вот спустимся на ступеньку вниз: есть ли аналог Шварца для спрямляемых кривых?... (даже независимо от точного понимания спрямляемости).

Ладно, попробую Вас перефразировать (хотя всем наверняка и так уже всё ясно). Интеграл по определению существует, да, если есть предел по любым разбиениям. Но если уж известно, что он (интеграл) существует -- то, в полном соответствии с определением, он равен пределу по какой нам заблагорассудится конкретной последовательности разбиений.

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #802386 писал(а):

Интеграл - это предел интегральных сумм при мелкости, стремящейся к нулю. А у записанной суммы тоже мелкость стремится к 0. Тут нет лазейки для ошибки.

У сапога разбиение тоже стремится к нулю...

Кстати, как вам функция Дирихле для одномерного случая? Это конечно не Риман и не Лебег, но если не вникать в подробности, то $1/n, 2/n ...$ - все точки рациональны. A теорию меры изучают не все программисты.