Мощность множеств

[Amigo]

1.Какова мощность множества всех непрерывных монотонных функций действующих
из [0,1] в [0,1]?
2.Какова мощность множества всех просто непрерывных функций действующих
из [0,1] в [0,1]?

Сообщите идею доказательства пожалуйста.

[PAV]

Вот тема с подобным обсуждением

Базовая идея в том, что непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек (например, в рациональных точках). Тогда во всех остальных она задается однозначно.

[Amigo]

PAV писал(а):

Вот тема с подобным обсуждением

Базовая идея в том, что непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек (например, в рациональных точках). Тогда во всех остальных она задается однозначно.

Возьмём еденичный квадрат. Будем рассматривать на нём точки (x,y) где x,y - рациональны. Такое множество то же будет счётным и всюду плотным. Каждая функция есть некоторое подмножество точек из этого квадрата. Множество же всех непрерывных функций не больше чем множество всех подмножеств данного множества. А множество всех подмножеств счётного множества есть множества мощности континуум. Тем самым доказано, что и в первом и вовтором случае данное множество имеет мощность континуума. Правильно?


Как доказать утверждение: "каждую непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек"

И извините за уж совсем тупой вопрос:
как доказать, что не может существовать такого множества,
что мощность его некоторого собственного подмножества БОЛЬШЕ
исходного множества? Хотя это кажется очевидным, тем не менее в случае бесконечных множеств было бы удобней иметь некоторое доказательство.

[venja]

Amigo писал(а):

PAV писал(а):

Вот тема с подобным обсуждением

Базовая идея в том, что непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек (например, в рациональных точках). Тогда во всех остальных она задается однозначно.

Честно сказать не вижу как это может помочь . Хотя само утверждение понятно.

Это означает, что множество непрерывных функций "вкладывается" в объединение счетного числа множеств мощности континуум (а такое объединение имеет мщность континуум).

Amigo писал(а):

PAV писал(а):

Вот тема с подобным обсуждением

Базовая идея в том, что непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек (например, в рациональных точках). Тогда во всех остальных она задается однозначно.

Хоть я и сказал, что само утверждение" каждую непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек" - мне понятно. Тем не менее я в него не верю.
Откуда оно взялось? И как его можно доказать?

Значение непрерывной функции в ЛЮБОЙ точке восстанавливается через ее значения в рациональных точках как предел значений функции на рациональных точках, стремящихся к данной точке.

Amigo писал(а):

PAV писал(а):

Вот тема с подобным обсуждением

Базовая идея в том, что непрерывную функцию достаточно задать только на счетном всюду плотном множестве точек (например, в рациональных точках). Тогда во всех остальных она задается однозначно.

как доказать, что не может существовать такого множества,
что мощность его некоторого собственного подмножества БОЛЬШЕ
исходного множества?

Думаю, это несложно доказать (или найти в литературе).

[Amigo]

venja писал(а):

Это означает, что множество непрерывных функций "вкладывается" в объединение счетного числа множеств мощности континуум (а такое объединение имеет мщность континуум).

Я не вижу между утверждением PAV и Вашим прямой связи. Где она?

venja писал(а):

Значение непрерывной функции в ЛЮБОЙ точке восстанавливается через ее значения в рациональных точках как предел значений функции про рациональным точчкам, стремящимся к данной точке.

Можно по подробней пожалуйста.

[PAV]

Amigo писал(а):

Правильно?

Нет, неправильно. Вы считаете не только аргументы функции рациональными, но и все значения. А это совершенно не так, значения могут быть произвольными вещественными числами. Например, непрерывной функцией является константа, которая может быть любым вещественным числом (отсюда в частности следует, что исследуемая мощность не может быть меньше континуума).

Добавлено спустя 3 минуты 42 секунды:

venja писал(а):

Значение непрерывной функции в ЛЮБОЙ точке восстанавливается через ее значения в рациональных точках как предел значений функции про рациональным точчкам, стремящимся к данной точке.

Это, конечно, правильно, но только без этого можно обойтись. Достаточно и того, что если две непрерывные функции отличаются хотя бы в одной точке, то они отличаются хотя бы в одной рациональной точке. Т.е. если мы сопоставим заданной функции счетное множество (точнее - набор или последовательность) вещественных чисел (значений в рац. точках), то для разных функций эти наборы будут разными. Остается лишь доказать, что таких наборов континуум.

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

Amigo писал(а):

venja писал(а):

Значение непрерывной функции в ЛЮБОЙ точке восстанавливается через ее значения в рациональных точках как предел значений функции про рациональным точчкам, стремящимся к данной точке.

Можно по подробней пожалуйста.

Это легко следует непосредственно из определения непрерывной функции и того, что рациональные числа образуют всюду плотное множество.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Amigo писал(а):

как доказать, что не может существовать такого множества,
что мощность его некоторого собственного подмножества БОЛЬШЕ
исходного множества? Хотя это кажется очевидным, тем не менее в случае бесконечных множеств было бы удобней иметь некоторое доказательство.

Напишите, пожалуйста, какие Вы знаете основные определения, касающиеся равенств и неравенств мощностей множеств.

[Amigo]

PAV писал(а):

Amigo писал(а):

Правильно?

Нет, неправильно. Вы считаете не только аргументы функции рациональными, но и все значения. А это совершенно не так, значения могут быть произвольными вещественными числами. Например, непрерывной функцией является константа, которая может быть любым вещественным числом (отсюда в частности следует, что исследуемая мощность не может быть меньше континуума).

Вы правы.

PAV писал(а):

Остается лишь доказать, что таких наборов континуум.

Так ведь набор у нас напрямую отождествляется с самой функцией.
А по условию мы и должны как раз установить мощность множества
всех функций или что то же самое наборов. Что равносильно самой начальной задаче. Тогда непонятно зачем мы вообще стали говорить про эти наборы?

PAV писал(а):

Это легко следует непосредственно из определения непрерывной функции и того, что рациональные числа образуют всюду плотное множество.

Где бы можно было найти доказательство этого факта в кванторах?
(что бы можно было с ним плотнее поработать, а то я чувствую, что не смогу сообразить)

PAV писал(а):

Amigo писал(а):

как доказать, что не может существовать такого множества,
что мощность его некоторого собственного подмножества БОЛЬШЕ
исходного множества? Хотя это кажется очевидным, тем не менее в случае бесконечных множеств было бы удобней иметь некоторое доказательство.

Напишите, пожалуйста, какие Вы знаете основные определения, касающиеся равенств и неравенств мощностей множеств.

Спасибо за совет. Разобрался.

[PAV]

Amigo писал(а):

Тогда непонятно зачем мы вообще стали говорить про эти наборы?

Ну, строго говоря наборов может быть больше (любой функции соответствует набор, но не любому набору - непрерывная функция). Суть же в том, что установить мощность множества наборов легко, а как сделать то же самое оперируя непосредственно с функциями - лично мне не очевидно.

Добавлено спустя 53 секунды:

Amigo писал(а):

Где бы можно было найти доказательство этого факта в кванторах?

К чему тут кванторы Что такое непрерывная функция?

[Amigo]

PAV писал(а):

Amigo писал(а):

Где бы можно было найти доказательство этого факта в кванторах?

К чему тут кванторы Что такое непрерывная функция?

Понимаете ли... дело в том, что я ни как не могу усвоить понятие "предел" и соответственно всех производных от этого понятий. Поэтому мне чисто психологически было бы легче если бы я знал, что доказательство где то есть, и придёт когда нибудь время, я возьму открою его и прочту. А что бы было оно понятным пусть будет оно записано на математическом языке...

В понятие "предел" мне больше всего не понятно, что это есть по сути.
Это, что число обладающее определённым свойством? Или это функция? или это некий логический оператор?

Добавлено спустя 11 минут 30 секунд:

Цитата:

Суть же в том, что установить мощность множества наборов легко

Ясно, что она не меньше континуума. Но как доказать, что не больше?

[PAV]

Предел - это число. Обладающее определенным свойством.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

Amigo писал(а):

Ясно, что она не меньше континуума. Но как доказать, что не больше?

Попробуйте записать все вещественные числа, входяшие в набор, в виде бесконечных десятичных дробей. А затем (пользуясь нумерацией этих чисел) запишите эти дроби друг под другом, в виде таблицы. А затем подумайте, как тут придти к континууму.

[Amigo]

PAV писал(а):

Попробуйте записать все вещественные числа, входяшие в набор, в виде бесконечных десятичных дробей. А затем (пользуясь нумерацией этих чисел) запишите эти дроби друг под другом, в виде таблицы. А затем подумайте, как тут придти к континууму.

Единственно что приходит мне в голову и связанно с таблицами - диагональный метод Кантора. Но я совершенно не вижу как его можно здесь применить. Помимо этого не
видно как рассмотрение отдельного набора может повлиять на всё доказательство в целом.
Ведь наборов то вероятно не счётно и следовательно я не смогу их все выписать в таблицу.
Что бы распространить полученные данные при изучении одного набора на всё доказательство в целом.

[PAV]

Что мы можем сделать с помощью диагонального метода?

[Amigo]

PAV писал(а):

Что мы можем сделать с помощью диагонального метода?

Мы можем предьявить число НЕ имеющее ни какого натурально номера.

[PAV]

Это не совсем так, но это нам не нужно. Собственно, давайте вспомним, чего мы хотим. Мы поставили каждой функции в соответствие упорядоченный набор вещественных чисел. Теперь нам нужно показать, что таких наборов не более чем континуум. Для этого достаточно поставить в соответствие каждому такому набору некоторое вещественное число или, другими словами, некоторую бесконечную десятичную дробь. Можете это сделать?

[Amigo]

PAV писал(а):

Это не совсем так, но это нам не нужно.

А разве это не совсем так? Где не точность?

PAV писал(а):

Собственно, давайте вспомним, чего мы хотим. Мы поставили каждой функции в соответствие упорядоченный набор вещественных чисел. Теперь нам нужно показать, что таких наборов не более чем континуум. Для этого достаточно поставить в соответствие каждому такому набору некоторое вещественное число или, другими словами, некоторую бесконечную десятичную дробь. Можете это сделать?

Я могу поставить каждому набору некоторое вещественное число. Но я не вижу как некоторому вещественному числу поставить в соответствие некоторый набор. Что необходимо для биекции.