Выражается ли в элементарных функциях интеграл

[Limit79]

$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)}$$

Пробую по частям, получаю:

$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} = x^2 \tg(x) - 2 \int x \tg(x) dx$$

И еще раз по частям:

$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} = x^2 \tg(x) +2x \ln|\cos(x)| -2 \int \ln|\cos(x)| dx$$

Последний интеграл, вроде, через элементарные функции не выражается.

На втором шаге пробовал по частям по-другому, для того, чтобы получить уравнение относительно интеграла, но получается $0=0$

Подскажите, пожалуйста, верно ли?

-- 15.12.2013, 18:31 --

UPD: Данный интеграл возник при расчете дисперсии НСВ, то есть он определенный, от $0$ до $\frac{\pi}{4}$.

[Ms-dos4]

Данный интеграл в элементарных функциях не берётся.
P.S. НСВ это что?

[Limit79]

Ms-dos4
Спасибо. НСВ - непрерывная случайная величина.

А не могли бы Вы, пожалуйста, посмотреть, может я изначально что-то делаю не так:

Задана функция распределения: $F(x) = \tg(x)$ при $0< x \leq \frac{\pi}{4}$, слева от этого интервала ноль, справа - 1.

Тогда $f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ при $0< x \leq \frac{\pi}{4}$, а везде, кроме этого интервала - ноль.

Тогда, мат. ожидание:

$$M(x) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{xdx}{\cos^2(x)} = ... = \frac{\pi}{4} + \ln \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )$$

Дисперсия:

$$D(x) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} - (M(x))^2$$

[Ms-dos4]

А почему вы думаете, что что-то неправильно? Ну забейте вы определённый интеграл например в Maple и посмотрите, может выразит через какие-нибудь постоянные, в крайнем случае численно найдите и всё.

[Limit79]

Ms-dos4
Ну мало ли где ошибся... Мат. пакеты выражают через спец. функции.

[Ms-dos4]

Это неопределённый, там конечно. А вот определённый выражается через постоянную Каталана (так говорит Mathematica)

$\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \frac{1}{{16}}[(\pi (\pi + 4\ln 2) - 16G)\]$

[Limit79]

Ms-dos4
Это я знаю, но толку от этого мало

Спасибо за помощь!

[Ms-dos4]

Limit79
Т.е. как это толку мало? Число вы получили - получили. Дисперсию посчитать можете - можете.

[fedd]

Если использовать с большой точностью число Каталана

$C=0.91596559417721901505460351493238411$

то определенный интеграл имеет простой вид:

$\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^2}{\cos^2(x)} d x=\frac{1}{16}\left [ \pi ( \pi+\ln {16} ) - 16 C\right ] \approx 0.2452812034667664312477243971$

[Ms-dos4]

fedd

(Оффтоп)

а вы читаете, что вообще пишут в теме выше?

[fedd]

Ms-dos4, да, читаю. Вы же пишите: "...в крайнем случае численно найдите и всё."

Я численно и нашел. То есть показал число.

[Limit79]

Ms-dos4
Надо же аналитически ее вычислить, а через элементарные функции интеграл не выразить.

fedd
Суть -- посчитать вручную и без спец. функций, а это невозможно.

fedd
Скорее всего, под "численно" Ms-dos4 имел ввиду численными методами.

[Ms-dos4]

Limit79
Что вы имеете ввиду аналитически? У вас же тут даже параметров нет никаких (и кстати, выражение с постоянной Каталана и есть аналитическое, т.е. точное). Ну а вручную получить этот самый результат с постоянной Каталана - там всё сводится к полилогарифмам, в них вы раскаладываете экспоненты по тождеству Эйлера и пытаетесь свести к своему интегралу.

-- Вс дек 15, 2013 19:51:54 --

fedd в сообщении #801581 писал(а):

Ms-dos4, да, читаю. Вы же пишите: "...в крайнем случае численно найдите и всё."

Я численно и нашел. То есть показал число.

Я думаю автор и сам в силах подставить в формулу постоянную Каталана

[Limit79]

Ms-dos4
Согласен, "аналитически" не к месту сказал. Я имел ввиду, что без спец. функций.

[Ms-dos4]

Limit79
А чем спецфункция хуже элементарной? За что же их так дискриминируют то. Ну назвали одни функции элементарными по определению и всё, по сути разницы вообще нет. И ваш ответ (для опр. интеграла) спецфункций явно не содержит.

(Оффтоп)

Нужно организовывать движение за отмену дискриминации спецфункций! Даёшь равноправие элементарных и специальных функций!