Доказательство иррациональности числа

[marting]

Как можно доказать иррациональность числа $\frac {2-\sqrt{3}} {\sqrt{8}-\sqrt{3}}$?

[Lion]

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе, обозначьте полученное выражение за $r$, перенесите $\sqrt{3}$ направо и возведите в квадрат.

[marting]

Lion писал(а):

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе, обозначьте полученное выражение за $r$, перенесите $\sqrt{3}$ направо и возведите в квадрат.

Спасибо за ответ, но у меня что-то не пошло. Избавимся от радикалов в знаменателе, получается $\frac {{(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{8}+\sqrt{3})}} 5$. Дальше я не очень понял, что мне даст обозначение этого через $r$?

[Lion]

Раскройте скобки и получите выражение типа $\sqrt{8}-\sqrt{6}+\sqrt{3}$. Обозначьте его за $r$, перенесите $\sqrt{3}$ направо и возведите в квадрат. После упрощения у Вас получится с одной стороны $\sqrt{3}$, а с другой --- некоторое рациональное число. Но этого быть не может --- противоречие.

[PAV]

Фактически Lion предлагает рассуждать от противного. Предполагаем, что это число рациональное, после чего применяем ряд преобразований, которые сохраняют рациональность (например, возведение в квадрат), после чего в конечном итоге получаем, что рациональным тогда получается некоторое число, про которое точно известно, что оно иррациональное. Получается противоречие.

[marting]

Ага, получилось, простите за недогадливость.

[Злобный Пес]

как доказать иррациональность sin1`

[Brukvalub]

Это синус одного градуса, или синус числа 1 ?

[Злобный Пес]

Brukvalub
одного градуса

[Brukvalub]

Тогда это просто. Доказывайте от противного: если

\[\sin 1^ \circ \]

- рационален, то и

\[\sin 3^ \circ \]

тоже рационален, и т.д. В конце-концов вы получите, что, скажем,

\[\sin 60^ \circ\]

тоже рационален, то есть, придёте к противоречию.

[Sensile]

Злобный Пес
При этом воспользуйтесь тем, что $\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x$

[KiberMath]

Sensile
Ты не опечаталась? Должно же быть:
sin(3x) = 3 sin(x) - 4 sin^2(x)
там ведь квадрат?

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

ам ведь квадрат?

Нет, там куб.

[KiberMath]

Brukvalub
Че-то у меня не получаеться получить такими рассуждениями, что sin(60^{o}) рациональное число... хотя наверняка дойти до этого можно... 60 - число четное... я остнановился на 45 =)

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

я остнановился на 45

Тоже неплохо, если вспомнить, чему равен

\[\sin 45^ \circ\]