Норма линейного оператора

[Dosaev]

Здравствуйте!
Не могли бы вы проверить, правильно ли я нашел норму следующего линейного оператора:
$A : l_1 \longrightarrow CL_1[0,1]$
$\[ (Ax)(t) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x(k)}{\sqrt{2k-t}} ~ \forall x \in l_1 , ~ \forall t \in [0,1]. \]$

$\|x\|_{l_1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x(k)|, $
$\|x\|_{CL_1[0,1]} = \int\limits_{0 }^1 |x(t)|dt$

$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_{l_1} = 1} \|A(x)\|_{CL[0,1]}.$
Оценим
$\int\limits_{0 }^1 |\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x(k)}{\sqrt{2k-t}}|dt \le \int\limits_{0 }^1 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|x(k)|}{\sqrt{2k-t}}dt.$
Так как
$\frac{1}{\sqrt{2k-t}} \le \frac{1}{\sqrt{2k-1}} ~ \forall t \in [0,1]$, то
$ \int\limits_{0 }^1 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|x(k)}{\sqrt{2k-t}}dt \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2k-1}}|x(k)|\int\limits_{0 }^1dt \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x(k)| = \|x\|_{l_1}.$
Значит $\|A\| \le 1$.
Возьмем последовательность $x(k) = \frac{6}{\pi^2}\frac{1}{2k^2(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k})} \in l_1$ (То, что она из $l_1$ несложно показать). Тогда, учитывая, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}, ~ \int\limits_{0 }^1\frac{dt}{\sqrt{2k-t}} = 2(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k})$ и ряд почленно интегрируем, получим, что норма оператора на такой последовательности равна 1. Следовательно, $\|A\| = 1.$

-- Сб дек 14, 2013 13:10:43 --

Похоже, я уже нашел ошибку. Последовательность, которую я выбрал по норме в $l_1$ не равна 1. Так, дальше думать...

[ewert]

У Вас же после почленного интегрирования иксы будут под знаком суммы умножаться на монотонно убывающую последовательность. Соответственно, и норма достигается на элементе $(1,0,0,0, ...)$.

[Dosaev]

Спасибо огромное!