Помогите взять производную от экспоненты

[DLL]

Пусть $X(t)$ - кососимметрическая матрица 3 на 3.
Рассмотрим $A(t) = e^{X(t)}$, очевидно, что это будет ортогональная матрица.

Есть ли какая-нибудь хорошая формула для производной $dA/dt$?

[Null]

$A'(t) = X'(t)e^{X(t)}$ не хватает?

[DLL]

Уверены? $X'(t)$ и $X(t)$ в общем случае не коммутируют...

[Null]

Если $A(t)x=\overline{w(t)}\times x$
То $e^{A(t)}$ - поворот на $|w(t)|$ радиан вокруг $\overline{w(t)}$ (отложенного от 0). Можно выписать формулу и продифференцировать по $\overline{w}$. А дальше $\frac{d(e^{A(t)})}{dt}=\frac{d(e^{A(t)})}{dw} \frac{dw(t)}{dt}$

Если я опять не ошибся.

[DLL]

Идея интересная, поскольку записывает переменную ортогональную матрицу в терминах оси вращения.

Тем не менее, мне хотелось бы немного другую формулу. Дело вот в чем. Матричную экспоненту можно записать в виде ряда

$$e^{X(t)}=I+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3!}+...$$

Далее, когда мы будем начнем дифференцироваться проблемы начнутся начиная с 3-го члена так как

$$(X^2)'=X'X+XX',$$

потому что в общем случае кососимметрические матрицы не коммутируют.

Тем не менее, они образуют алгебру Ли. То есть в результате мы сможем переставлять $X'X$ и $XX'$, но с учетом коммутатора. В такого рода задачах во многих случаях после перестановки выражение удается собрать обратно в нечто красивое.

Полагаю, что кто-то эту задачу уже решил ввиду важности ортогональных матриц в $R^3$.

[Taus]

DLL, возможно поможет http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus#With_matrices_involved .

[Nemiroff]

DLL в сообщении #800246 писал(а):

Пусть $X(t)$ - кососимметрическая матрица 3 на 3.
Рассмотрим $A(t) = e^{X(t)}$

Это просто поворот вокруг вектора на соответствующий угол. Вот и возьмите матрицу поворота вокруг произвольной оси. Не пойдет?

[svv]

(если что, я имею в виду только вещественные матрицы)
Если $X$ — кососимметрическая матрица $3\times 3$, то ее собственные значения будут $0, +ip, -ip$, где $p^2=x_{12}^2+x_{23}^2+x_{31}^2$. Это я определил $p$.

Тогда
$e^X=E+\dfrac{\sin p}{p}X+\dfrac{1-\cos p}{p^2}X^2$
Правую часть и предлагается дифференцировать (не забывая, что $p$ тоже зависит от $t$).

(Оффтоп)

Наверняка эта формула хорошо известна, но я её не знал, а получил с помощью формулы Сильвестра.

Она возможна благодаря тому, что по теореме Гамильтона-Кэли $X^n$ (где $n$ — порядок матрицы) линейно выражается через $E,X,...,X^{n-1}$.
Значит, последующие степени $X$ тоже выражаются через $E,X,...,X^{n-1}$. Значит, и функции $X$ тоже.

В случае кососимметрических матриц $3\times 3$ будет $X^3=-p^2 X$ (да, так просто, даже не верится), $X^4=-p^2 X^2, X^5=p^4 X$ и т.д.

[DLL]

Ага, спасибо!
Очень разумное решение.
Вместо преобразования коммутаторов, просто вычислить экспоненту с помощью Гамильтона-Кели.