2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 13:48 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Пусть $X(t)$ - кососимметрическая матрица 3 на 3.
Рассмотрим $A(t) = e^{X(t)}$, очевидно, что это будет ортогональная матрица.

Есть ли какая-нибудь хорошая формула для производной $dA/dt$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 14:18 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
$A'(t) = X'(t)e^{X(t)}$ не хватает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 14:56 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Уверены? $X'(t)$ и $X(t)$ в общем случае не коммутируют...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 17:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Если $A(t)x=\overline{w(t)}\times x$
То $e^{A(t)}$ - поворот на $|w(t)|$ радиан вокруг $\overline{w(t)}$ (отложенного от 0). Можно выписать формулу и продифференцировать по $\overline{w}$. А дальше $\frac{d(e^{A(t)})}{dt}=\frac{d(e^{A(t)})}{dw} \frac{dw(t)}{dt}$

Если я опять не ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 19:28 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Идея интересная, поскольку записывает переменную ортогональную матрицу в терминах оси вращения.

Тем не менее, мне хотелось бы немного другую формулу. Дело вот в чем. Матричную экспоненту можно записать в виде ряда
$$e^{X(t)}=I+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3!}+...$$
Далее, когда мы будем начнем дифференцироваться проблемы начнутся начиная с 3-го члена так как
$$(X^2)'=X'X+XX',$$
потому что в общем случае кососимметрические матрицы не коммутируют.

Тем не менее, они образуют алгебру Ли. То есть в результате мы сможем переставлять $X'X$ и $XX'$, но с учетом коммутатора. В такого рода задачах во многих случаях после перестановки выражение удается собрать обратно в нечто красивое.

Полагаю, что кто-то эту задачу уже решил ввиду важности ортогональных матриц в $R^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение13.12.2013, 22:58 


27/11/10
207
DLL, возможно поможет http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus#With_matrices_involved .

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение14.12.2013, 00:37 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
DLL в сообщении #800246 писал(а):
Пусть $X(t)$ - кососимметрическая матрица 3 на 3.
Рассмотрим $A(t) = e^{X(t)}$

Это просто поворот вокруг вектора на соответствующий угол. Вот и возьмите матрицу поворота вокруг произвольной оси. Не пойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение14.12.2013, 02:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
(если что, я имею в виду только вещественные матрицы)
Если $X$ — кососимметрическая матрица $3\times 3$, то ее собственные значения будут $0, +ip, -ip$, где $p^2=x_{12}^2+x_{23}^2+x_{31}^2$. Это я определил $p$.

Тогда
$e^X=E+\dfrac{\sin p}{p}X+\dfrac{1-\cos p}{p^2}X^2$
Правую часть и предлагается дифференцировать (не забывая, что $p$ тоже зависит от $t$).

(Оффтоп)

Наверняка эта формула хорошо известна, но я её не знал, а получил с помощью формулы Сильвестра.

Она возможна благодаря тому, что по теореме Гамильтона-Кэли $X^n$ (где $n$ — порядок матрицы) линейно выражается через $E,X,...,X^{n-1}$.
Значит, последующие степени $X$ тоже выражаются через $E,X,...,X^{n-1}$. Значит, и функции $X$ тоже.

В случае кососимметрических матриц $3\times 3$ будет $X^3=-p^2 X$ (да, так просто, даже не верится), $X^4=-p^2 X^2, X^5=p^4 X$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять производную от экспоненты
Сообщение14.12.2013, 20:19 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Ага, спасибо!
Очень разумное решение.
Вместо преобразования коммутаторов, просто вычислить экспоненту с помощью Гамильтона-Кели.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group