Бесконечно вложенные радикалы

[Enot2]

Значит каждый член последовательности будет меньше 3,так как она убывает. А используя теорему Вейерштрасса,получаем, что 1)она убывает 2)ограничена нулем ,значит она сходится. Теперь можно перейти к пределу в рекуррентной формуле,но в таком случае у нас появится $A^n$ как с таким бороться?

[svv]

Сделайте более точные оценки: $p_n<a_n<q_n$, где
$p_{n}=\sqrt[n]{1+\sqrt[n+1]{1}}=\sqrt[n]{2}$ (или даже $p_n=\sqrt[n]{1}=1$).
$a_{n}=\sqrt[n]{1+\sqrt[n+1]{1+\sqrt[n+2]{1+\sqrt[n+3]{1+....}}}}$
$q_{n}=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{1+....}}}}$, т.е. $q_n$ — корень уравнения $x^n-x-1=0$, больший единицы (легко видеть, что при $n>1$ такой существует ровно один).

[RIP]

По-моему, достаточно просто рекуррентное соотношение записать в виде $a_n=\sqrt[n]{1+a_{n+1}}$, и из ограниченности (и положительности) $a_{n+1}$ мгновенно становится понятно, чему равен предел выражения справа.

[Enot2]

Значит корень уравнения $x_n-x-1=0$ лежит в промежутке $(1;2)$ и он единственен. Только получается, что для каждого фиксированного $n$ будет свой предел..и нужно будет рассматривать ещё и эту последовательность пределов?

[svv]

Нет, я не это имел в виду. Корень — это только оценка сверху, для данного $n$ никаких других пределов, связанных с этим корнем, находить не надо. Важно только то, что $\lim\limits_{n\to\infty}q_n=1$, т.е. с ростом $n$ корень неограниченно приближается к 1 (доказательство за Вами). Точные значения $q_n$ не важны.

[Enot2]

В итоге,я правильно понял суть: получается, что положительный корень уравнения: $x^n-x-1=0$ , будет пределом для каждого $a_n$-го, при своём фиксированном $n$. То есть это означает, что каждый член исходной последовательности имеет свой предел(так как каждый член последовательности представляет собой бесконечный корень), причем при возрастании $n$ предел каждого $a_n$-ого будет приближаться к единице,так?

[svv]

Вот всё правильно, кроме слова «предел». На самом деле я для $a_n$ знаю лишь то, что $a_n<q_n$. Это просто оценка, причем, возможно, очень грубая. (А, может быть, и излишне точная). Здесь $q_n$ просто число, больше которого, по некоторым соображениям, $a_n$ быть не может (и даже не равно ему). В отличие от предела, тут значительная субъективность. Другие люди из других соображений могли бы получить другие оценки, более точные или более грубые. Можно сказать, что число $a_n$ ничего не знает о числе $q_n$, это просто черта, которую провели мы сами, потому что нам удалось (или удастся) обосновать, что за ней $a_n$ находиться никак не может. И черту эту можно провести очень многими способами (считая только правильные, конечно).

Нам достаточно доказать, что $q_n$ стремится к 1. И тогда по теореме о двух милиционерах (знаете, что это такое и почему так называется?) мы получим, что и $a_n$ стремится к $1$ (а вот здесь уже предел).

[Enot2]

Да,безусловно, теорему о двух милиционерах я знаю.Но тогда нам нужно ограничить эту последовательность и снизу,причем последовательностью,сходящейся также к единице.Например просто последовательность $x_n=1$?тогда надо будет ещё доказать,что наша последовательность больше 1

[svv]

Так нижний милиционер — это же $p_n=\sqrt[n]2$, и он тоже стремится к $1$ с ростом $n$. (И, помните, я написал, что достаточно было бы даже $p_n=1$?) То, что $p_n\to 1$, доказывать не надо, это очевидно.

Далее, $p_n<a_n<q_n$ — это тоже важно и, надеюсь, очевидно из выписанных выше формул.

А то, что верхний милиционер $q_n\to 1$, это еще осталось доказать.

Но, когда докажем, все условия теоремы о двух милиционерах будут выполнены, и понятно, что под нее я все это подстроил.

[Enot2]

Да,спасибо,теперь всё ясно!)