Тепловое уравнение

[godsdog]

Дано тепловое уравнение

\[u_t=au_{xx},\quad a\geq0,\quad -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\]

\[u(0,t)=f(x).\]

Решение сего уравнения есть

\[u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi at}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4at}}f(\xi)\, d\xi\]

Имеет ли смысл данное решение при $f(x)$ расходящейся на бесконечности (естественно при соблюдении сходимости интеграла для $u(x,t)$) скажем, при $f(x)=x^2$ ? Я прошелся по решению теплового уравнения и нигде, вроде, не возникают дополнительные ограничения на $f(x)$ кроме как необходимость сходимости интеграла для $u(x,t)$.

[Ms-dos4]

Что вы имеете ввиду когда говорите смысл решения? С физической точки зрения, бесконечный рост температуры (или концентрации и т.п.) в начальном условии уже абсурден.

[Vince Diesel]

Параметр $a$ строго больше нуля дожен быть. А функция должна расти не быстрее, чем $e^{c x^2}$. Тогда интеграл сходится (для достаточно малых $t$ по крайней мере) и дает решение задачи Коши.

[godsdog]

2Ms-dos4
Я имею в виду формальную сторону вопроса. Правильно ли решение $u(x,t)$, представленное выше, при $f(x)=x^2$?

2Vince Diesel
Спасибо.

[Ms-dos4]

godsdog
Формальную это какую? Решение задачи Коши как уже сказали выше, даётся, но физического смысла у него нет.

[godsdog]

бесконечная прямая тоже не имеет физического смысла.

[Ms-dos4]

godsdog
Бесконечная прямая - абстракция. Если у нас уравнение теплопроводности, мы вообще можем решать его на конечном интервале. А бесконечная прямая применяется например в таких случаях: (приведу на примере гиперболического волнового уравнения). Пусть мы стоим в начале координат и бьём по струне. Если мы будем наблюдать возмущение за такой промежуток времени, что отражённая волна до нас не дойдёт (концы очень далеко) , мы можем упрощённо представить задачу как задачу на бесконечной прямой. Тут существенная разница, что когда вы что то приближаете в физике, чем то малым вы можете пренебречь, но когда у вас что то неограниченно растёт это очень плохо.

[Oleg Zubelevich]

исходя из преобразования Фурье задача должна корректно решаться при $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$

-- Чт дек 12, 2013 20:29:47 --

godsdog в сообщении #799802 писал(а):

уравнение
\[u_t=au_{xx},\quad a\geq0,\quad -\infty<x<\infty,\quad 0<t<\infty\]
\[u(0,t)=f(x).\]

опечатку поправьте

[Vince Diesel]

Oleg Zubelevich в сообщении #799871 писал(а):

исходя из преобразования Фурье задача должна корректно решаться при $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$

Хорошая постановка начальными данными из $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ не исчерпывается. Скажем, $e^x\not\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, а решение задачи Коши есть. Функциям из $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ соответсвуют решения, которые растут по $x$ (для фиксированного $t$) не быстрее полинома.

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #800219 писал(а):

Скажем, $e^x\not\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, а решение задачи Коши есть.

при таком росте, вообще говоря, нет единственности решения (т.е. если мы отказываемся от требования что бы при каждом $t\ge 0$ решение принадлежало $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$)

[Vince Diesel]

Есть класc единственности $|u|\le Ce^{cx^2 }$, и решение с экспонентой в начальном условии туда попадает. А рост не выше чем полиномиальный это маловато для него.

[Oleg Zubelevich]

а есть ли в этом классе непрерывная зависимость от начальных данных и если есть то в смысле какой топологии?

[Vince Diesel]

Не знаю. Но думаю, если взять вместо $\sup$ нормы норму для начальных условий и решения с весом, типа $\sup u(x,t)e^{-cx^2}$, то будет непрерывная зависимость.

[Oleg Zubelevich]

мне с константой $c$ не все понятно. От чего она зависит? любой она вроде быть не должна, иначе смысл теряется. Обозначим банахово пространство функций с введеной Вами нормой через $E_c,\quad E_{c'}\subset E_{c''},\quad c'<c''$. Если решение существует и единственно в каждом из этих пространств то оно принадлежит $\cap_{c>0}E_c$. Т.е. рост решения оказывается уже меньшим чем $e^{cx^2}$

[godsdog]

Oleg Zubelevich
Опечатку поправить уже не удастся.
Прошу прощения за невежество, но что такое $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$? Нагуглить сие не получается.

Ms-dos4
1) Мы можем абстрагироваться от физики.
2) Допустим у нас начальное распределение температуры $f(x)=x^2$ при $|x|<A$ и $f(x)=0$ при $x\geq A$. Если рассматривать решение $u(x,t)$ при $x\ll A$ и при достаточных малых $t$ то разве мы не можем утверждать, что полученное решение совпадает с $u(x,t)$, полученным при $f(x)=x^2,\, x\in\mathbb R$?