Найти ошибку в вычислении суммы ряда

[Ubu]

Доброго времени суток.

$$ \prod_{k=1}^{\inf} \cos \frac{x}{2^k} $$

$$ \prod_{k=1}^{\inf}\cos\frac{x}{2^k} = \prod_{k=1}^{\inf} \operatorname{Re} \exp{i\frac{x}{2^k}} = \operatorname{Re} \prod_{k=1}^{\inf} \exp{i\frac{x}{2^k}} = \operatorname{Re} \exp{\sum_{k=1}^{\inf} i\frac{x}{2^k}} = \operatorname{Re} \exp {ix} =\cos x $$

Проверял вот тут.

[Ms-dos4]

$\[\prod\limits_{k = 1}^\infty {{\mathop{\rm Re}\nolimits} [{e^{\frac{{ix}}{{{2^k}}}}}]} \ne {\mathop{\rm Re}\nolimits} \prod\limits_{k = 1}^\infty {{e^{\frac{{ix}}{{{2^k}}}}}} \]$, наглядный пример
$\[co{s^2}x = \cos x \cdot \cos x = {\mathop{\rm Re}\nolimits} {e^{ix}} \cdot {\mathop{\rm Re}\nolimits} {e^{ix}} \ne {\mathop{\rm Re}\nolimits} ({e^{ix}} \cdot {e^{ix}}) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} {e^{2ix}} = \cos 2x\]$

[Евгений Машеров]

А кто Вам позволил Re из-под произведения выносить?

[Ubu]

Благодарю.