Векторное произведение

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачкой:

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и найти косинус угла между диагоналями $\vec{c}$ и $\vec{d}$

$\vec{a}=5\vec{p}+\vec{q}$, $\vec{b}=5\vec{p}-2\vec{q}$, $|\vec{p}|=4, |\vec{q}|=1$, $(\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{6}$

Нахожу векторное произведение $[\vec{a},\vec{b}] = 15\cdot [\vec{q},\vec{p}]$

Далее $S = |[\vec{a},\vec{b}] | = 15 \cdot |[\vec{q},\vec{p}]| = 15 \cdot |\vec{q}| \cdot |\vec{p}| \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{6} \right ) = 15 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 30$

Диагонали:

$$\vec{c} = \vec{a}+\vec{b} = 10\vec{p} - \vec{q}$$

$$\vec{d} = \vec{a}-\vec{b} = 3\vec{q}$$

$$|\vec{c}| = |10\vec{p} - \vec{q}| = \sqrt{100 |\vec{p}|^2 - 20 |\vec{p}| |\vec{q}| \cos(\vec{p},\vec{q}) +|\vec{q}|^2} = ... = \sqrt{1601-10\sqrt{3}}$$

$$|\vec{d}| = |3\vec{q}| = \sqrt{9|\vec{q}|^2} = ... = 3$$

Вроде все хорошо, но в википедии нашел такую формулу:

$$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 \cdot (a_{2} + b_{2})$$

где $a$ и $b$ - стороны, $d_{1}$ и $d_{2}$ - диагонали.

В нашем случае:

$$|\vec{a}| = \sqrt{401+20 \sqrt{3}}$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{404-40 \sqrt{3}}$$

Но то равенство не выполняется, так как

$$1601-10\sqrt{3} + 9 \neq 2 \cdot (401+20 \sqrt{3} + 404-40 \sqrt{3})$$

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

-- 13.12.2013, 00:39 --

UPD: что самое интересное, если вычислять площадь параллелограмма как половину произведения диагоналей на синус угла между ними, то получается тоже что $S=30$, то есть диагонали, вероятнее всего, найдены верно.

[arseniiv]

Limit79 в сообщении #799982 писал(а):

$$|\vec{c}| = |10\vec{p} - \vec{q}| = \sqrt{100 |\vec{p}|^2 - 20 |\vec{p}| |\vec{q}| \cos(\vec{p},\vec{q}) +|\vec{q}|^2} = ... = \sqrt{1601-10\sqrt{3}}$$

По-моему, будет $\sqrt{1601-40\sqrt{3}}$. Косинус вычислили, а про $|\vec p| = 4$ посередине забыли!

[Limit79]

arseniiv
Огромное Вам спасибо, действительно забыл. Теперь все сходится!

Еще хотел спросить про косинус угла между диагоналями:

$$[\vec{c}, \vec{d}]= ...= 30 [\vec{p}, \vec{q}] = 30 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{6} \right) = 60$$

С другой стороны:

$$[\vec{c}, \vec{d}]= |\vec{c}| \cdot |\vec{d}| \cdot \sin(\vec{c},\vec{d})$$

Тогда:

$$\sin(\vec{c},\vec{d}) = \frac{[\vec{c}, \vec{d}]}{|\vec{c}| \cdot |\vec{d}|} = \frac{60}{\sqrt{1601-40 \sqrt{3}} \cdot 3}$$

А искомый косинус:

$$\cos(\vec{c},\vec{d}) = \sqrt{1- \left ( \frac{60}{\sqrt{1601-40 \sqrt{3}} \cdot 3} \right )^2}$$

И вот это выражение не сильно упрощается, может я опять что-то делаю не так? (ведь как правило, в ответах должны быть красивые числа)

[Dan B-Yallay]

А чем это некрасиво?
Возведите скобку в квадрат и упростите. Может чуть красивше станет.

[svv]

Ну, и $60$ на $3$ можно разделить, как это ни банально.

[Limit79]

Dan B-Yallay
svv
Я упростил до $\sqrt{1 - \frac{400}{1601-40 \sqrt{3}}}$, думал может как-то еще можно...

[Aritaborian]

Можно избавиться от иррациональности в знаменателе. И всё, пожалуй.

[Limit79]

А можно ли как-нибудь по-другому найти косинус угла между диагоналями?

У нас есть:

$$\vec{c} = \vec{a}+\vec{b} = 10\vec{p} - \vec{q}$$

$$\vec{d} = \vec{a}-\vec{b} = 3\vec{q}$$

[svv]

Можно.

$$\frac{\vec c\cdot\vec d}{|\vec c||\vec d|}=\frac{\vec c\cdot\vec d}{\sqrt{(\vec c\cdot\vec c)(\vec d\cdot\vec d)}}$$

[Limit79]

$(\vec{c} \cdot \vec{d}) = 30 \cdot \vec{p} \cdot \vec{q} - 3 \cdot (\vec{q})^2 = 30 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60 \sqrt{3}-3$

$(\vec{c} \cdot \vec{c}) =1601-40 \sqrt{3}$
$(\vec{d} \cdot \vec{d}) =9$

И тогда

$$\cos(\vec{c}, \vec{d}) = \frac{60 \sqrt{3}-3}{\sqrt{(1601-40 \sqrt{3}) \cdot 9}}$$

О! теперь сходится

[svv]

Нет, тут много ошибок, наверное, спешили.

[Limit79]

svv
Вроде посчитал, но все равно не сходится

Огромное спасибо за помощь, господа!