Доказать плотность С в L_p

[myjobisgop]

Всем доброй ночи.
Нужно доказать, что относительно классической меры Лебега непрерывные функции плотны в $L_p([a,b])\ \ \ 1 \leq p < \infty$

То есть нужно показать, что для любой функции $f \in L_p([a,b])$ можно найти функцию $g \in C([a,b])$, которая сколь угодно мало приближается к $f$, относительно метрики в $L_p$, т.е. $(\int_{[a,b]}|f-g|\ ^pd\mu)^{1/p} < \varepsilon$
Но как найти функции $g$? Поможет ли тут аппроксимация многочленами непрерывных функций?

[Dan B-Yallay]

myjobisgop в сообщении #800020 писал(а):

Но как найти функции $g$? Поможет ли тут аппроксимация многочленами непрерывных функций?

Саму $f$ аппроксимировать многочленами смысла нет, т.к. она может быть разрывной во всех рац. точках.
Зато можно попробовать "поколдовать" полиномами вокруг $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt$

[ewert]

myjobisgop в сообщении #800020 писал(а):

Поможет ли тут аппроксимация многочленами непрерывных функций?

Нет, не поможет (т.е. помешает гораздо быстрее, чем поможет). Многочлены тут вообще не при чём. А при чём, например, сглаживание функций путём их свёртки с соответствующим колокольчиком (это достаточно универсальный приём, позволяющий доказать плотность не только непрерывных функций, но хоть даже и бесконечно дифференцируемых и даже аналитических).

[myjobisgop]

Dan B-Yallay в сообщении #800024 писал(а):

Саму $f$ аппроксимировать многочленами смысла нет, т.к. она может быть разрывной во всех рац. точках.
Зато можно попробовать "поколдовать" полиномами вокруг $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt$

Если $f \in L_p([a,b])$, то она измерима. Но из измеримости не следует, что $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt$ непрерывна.

ewert в сообщении #800028 писал(а):

А при чём, например, сглаживание функций путём их свёртки с соответствующим колокольчиком (это достаточно универсальный приём, позволяющий доказать плотность не только непрерывных функций, но хоть даже и бесконечно дифференцируемых и даже аналитических).

А можно по подробнее про этот прием? (пример на доказательство плотности или литературу по нему), а то я не очень понимаю, что вы имеете ввиду под словом "колокольчик".

[mihailm]

(Оффтоп)

колокольчик прикольное название, обычно это шапочка

[Dan B-Yallay]

myjobisgop в сообщении #800044 писал(а):

Если $f \in L_p([a,b])$, то она измерима. Но из измеримости не следует, что $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt$ непрерывна.

Да, извиняюсь - я сморозил глупость.

myjobisgop в сообщении #800044 писал(а):

А можно по подробнее про этот прием? (пример на доказательство плотности или литературу по нему), а то я не очень понимаю, что вы имеете ввиду под словом "колокольчик".

Если с английским проблем нет, то (pdf file)

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q= ... q1J85S1R1w

Кроме того, в книжке H.L. Royden Real Analysis 3rd edition стр 127-128 (Approximation in $L^p$) есть доказательство без "шапочек".