Ну, раз мы выяснили позиции, то тогда остается только одно - сравнить на конкретном примере потенциалы, рассчитанные по разным формулам.
Давайте.
Давайте на конкретном примере рассмотрим различные формулы для учета потенциалов Лиенара-Вихерта (далее Л-В), т.е. для учета запаздывания по координатам потенциала движущегося заряда, которые мы рассмотрели Выше. На всякий случай напоминаю, что запаздывающие потенциалы это потенциалы, пришедшие из прошлого, которые задержались там пока летели от одной точки, где в это время был заряд, до другой точки, где его зафиксировали в текущий момент времени. А для большей убедительности дам несколько цитат
1-БСЭ (Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М. — Л., 1957, гл. 7.)
Запаздывающие потенциалы, потенциалы переменного электромагнитного поля, учитывающие запаздывание изменений поля в данной точке пространства по отношению к изменению зарядов и токов, создающих поле и находящихся в др. точках пространства.
2- Словари и энциклопедии на академике
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/450/Если в момент времени
происходит изменение распределения зарядов или токов, то на расстоянии
от них, вследствие конечности скорости
распространения эл.-магн. поля, это изменение проявится с нек-рым запозданием. Поэтому в рассматриваемой точке значение потенциалов эл.-магн. поля в момент
определяется плотностями тока и заряда источника поля в момент времени
, где
— время запаздывания.
Так вот, я предложил для расчета запаздывающих потенциалов Л-В формулу (1), которую я применяю в практических расчетах при использовании итерационного метода решения. А Вы Munin настаиваете на том, что моя формула итерационных вычислений неправильная, а правильными являются точные формулы (2) и (3), которые, как Вы заявляете, дают один и тот же результат, хотя мы явно видим, что в них используются совершенно разные подходы. Формулу (2) Ландау получил, рассматривая действительно процесс запаздывания потенциала, а формула (3) это просто преобразования Лоренца для движущейся ИСО в которой рассматриваются потенциалы заряда покоящегося в этой ИСО. А для наглядности рассмотрения всех этих трех формул я подготовил один универсальный рисунок.
(1)
(2)
(3)
Итак, мы имеем точечный заряд
, который в данный момент времени
находится в точке 2 и продолжает двигаться по оси
со скоростью
, а нам надо найти потенциал, который он при этом создает в точке наблюдения
. Этот запаздывающий потенциал определится как потенциал, который создается при нахождении заряда в точке 2’ в момент времени
. Пусть у нас расстояние
м, а ордината точки
будет
м, и таким образом имеем
м. Скорость распространения фронта электрического поля
будет равна скорости света, а скорость заряда
будет в два раза меньше. В тот момент, когда заряд
пролетал начало координат (точка 2’) мы начали отсчет времени
необходимого, чтобы фронт поля достиг точки
и таким образом приняли, что у нас время
. Исходя из того, что скорость света
м/с, фронт поля преодолеет расстояние
за время
с, а заряд за это время переместится в точку 2 с координатой
м. При этом на рисунке показано три положения фронта поля (окружности) в разные моменты времени.
При обсуждении этого вопроса часто путают понятия «запаздывание потенциалов» и «распределение зарядов, создающих потенциал, по объему тела», поэтому дам некоторые пояснения. Если бы у нас в точке наблюдения
находился точечный пробный заряд, то на него действовал бы потенциал заряда
именно из точки 2’, а в том случае, если пробный заряд будет иметь значительные размеры, то надо уже учитывать действие на него разных потенциалов в момент времени
. Потенциал из точки 2’ будет действовать на середину заряда
, а фронт потенциала из точки 2’- будет уже покидать заряд
и фронт потенциала из точки 2’+ только долетит до заряда
. При этом у нас на разные части заряда
будут не только действовать разные значения потенциалов из точек 2’-, 2’ и 2’+, но и направление прохождения через него фронтов поля будет различным (смотрите отрезки линий равного потенциала около заряда
). Похожую картину мы будем наблюдать и в том случае, если заряд
будет точечным, а заряд
будет иметь значительные размеры. Только в этом случае в тот момент, когда фронт поля из точки 2’+ (от части заряда
) долетит до заряда
, потенциалы от частей заряда
в точках 2’- и 2’ долетят до точки
не из этих положений, которые они занимают в этот момент времени на поверхности самого заряда, а из точек, где они были немного раньше. Впрочем, мы можем не рассматривать эти тонкости, т.к. заряд
у нас по условиям задачи точечный, а потенциал мы тоже определяем в точке.
Я, исходя из того, что мне надо было практически вычислять потенциалы Л-В в моей программе Solsys7mm, где я учитывал запаздывание потенциалов гравитационного поля планет в Солнечной системе, предложил формулу (1). Она позволяет это делать в автоматическом режиме за несколько итераций, т.е. без вмешательства оператора для нахождения корней квадратного уравнения, как это предложил делать Ландау в простейшем случае прямолинейного и равномерного движения. При этом я использую две итерации, что при скоростях планет Солнечной системы дает почти точный результат. Во время моделирования движения планет мне известны только текущие координаты планет, т.е. у нас это координаты точки
и заряда
в точке 2. Исходя из этого мы можем найти время
с и скорость изменения радиус-вектора
м/с, а затем
м. Теперь при второй итерации мы, исхдя уже из того, что потенциалу надо было преодолеть расстояние
, находим новое время запаздывания потенциала
с и новую скорость изменения радиус-вектора, т.к. у нас изменился угол между радиус-вектором и скоростью (был 53,7 градуса, а стал 38,5 градуса)
м/с. Теперь можем уточнить расстояние, которое пролетел фронт запаздывающего потенциала
м и так до тех пор пока не добьемся приемлемой точности решения.
(1)
Вообще то, я пользуюсь немного другим алгоритмом, т.к. этот алгоритм довольно медленный, менее точный и сложнее второго, а кроме того, здесь возможны проблемы при переходе угла
через 90 градусов, но я изложил Вам именно его, чтобы была аналогия с формулой (2) и было четко видно, что я в знаменателе увеличиваю
, а Ландау уменьшает
. А в другом алгоритме я после того, как нахожу
, откатываю планеты (заряды) немного назад на расстояние, которое они пролетели бы со своми скоростями за это время по трем осям координат и по новым координатам планет нахожу
. Затем уже по нему нахожу
и откатываю планеты назад на всем этом промежутке времени и нахожу
и т.д. В принципе, мне при моих скоростях планет хватило бы и одной итерации, но я для надежности делаю две, а в рассмотренном нами примере, даже при такой большой скорости заряда, этот алгоритм уже в 4-ой итерации дает
м, т.е. ошибка составляет 1%.
Ну, а теперь, когда мы нашли (пусть приближенно) расстояние
, я думаю не составит большого труда вычислить и потенциал, но я этого делать не буду, чтобы не уйти от главного, т.е. от радиус-векторов из-за которых и получаются в этих формулах (1)…(3) разные потенциалы. Вот давайте и посмотрим, какой радиус-вектор, т.е. знаменатель, получается в формуле (2) для вычисления запаздывающего потенциала. Здесь мы также, как и в моем расчете, не знаем значения
, т.к. нам известны только текущие координаты заряда
и точки
, но при прямолинейном и равномерном движение заряда их можно вычислить, что нам Ландау и предлагает сделать. Составляем систему из двух уравнений (первое это его уравнение (63,1), где
надо выразить через координаты заряда в момент
и координаты точки
, а второе
), решаем их совместно и находим два корня квадратного уравнения для
. Один корень
м нам явно не подходит, а вот второй корень
это явно наше решение. Теперь, т.к. Ландау пишет, что все значения в этой формуле должны быть взяты в момент времени
, нам, чтобы скалярно перемножить вектора надо найти еще угол
, который получается 30 градусов.
(2)
(63,1)
Обозначим значение радиуса в знаменателе как
и вычислим его
м. Как видим, мы получили положение заряда
при таком радиус-векторе, которое не только не соответствует положению заряда в прошлом, но соответствует его положению в будущем времени, т.к. в данный момент времени
у нас
м. Впрочем, если бы Ландау предложил брать хотя бы среднее значение угла
по пути движения заряда из точки 2’ в точку 2, то он получил бы значение
более близкое к
и тогда бы его формула давала не опережение потенциалами времени, а примерно соответствовала бы потенциалам в текущий момент времени. Но, в любом случае это не формула для учета запаздывания потенциалов Л-В.
А теперь давайте посмотрим, что же нам дает формула (3), где используются преобразования Лоренца для потенциала заряда покоящегося в системе
(на рисунке оси координат
и
) которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью
относительно системы координат
(оси
и
). Причем в момент времени
начало системы координат
и ее оси координат совпадают с началом системы координат
и ее осями координат, а движется она со скоростью
вдоль оси
. Здесь нам даже не надо вводить обозначение для интересующего нас радиус-вектора, т.к. Ландау сделал это за нас. Вот давайте и найдем это значение
по которому мы будем определять запаздывающие потенциалы. К, сожалению, и здесь у нас получаются гости из будущего, т.к. получается
м, что тоже меньше
м.
(3)
Интересно отметить, что уменьшение текущего значения
здесь происходит из-за сокращения размеров по оси
, т.е. в направлении перпендикулярном скорости движения системы
, а размеры по оси
остаются неизменными (поэтому эллипсоид Хэвисайда и растягивается по оси
). При этом, если бы точка наблюдения находилась на оси
, то мы бы вообще никакого изменения текущего радиус-вектора бы не получили, т.е. эта формула давала бы точно значения текущих значений потенциалов, т.е. при скорости их распространения равной бесконечности. Впрочем, точно также и в формуле (2), если бы точка
находилась на оси
, то мы бы получили точные значения потенциалов в текущем времени. В общем, у меня получилось как-то так. Попробуйте Вы. Может быть у Вас получится найти по этим формулам Ландау запаздывающие потенциалы.
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.