Опять простые числа

[DjD USB]

Пусть $p,q,r--$ простые числа $(r>2)$, k--натуральное. Тогда решить уравнение:

$$p^q+q^p=r^k$$

[Shadow]

$p=2$
$2^q+q^2=r^k$

При $q=3, r=17$ - решение, при $q>3$ левая часть делится на 3, значит $r=3$

$2^q+q^2=3^k$

По модулю 4 "k" долно быть четным ($k=2n$)
$2^q=(3^n-q)(3^n+q)$

$ \\3^n-q=2\\ 3^n+q=2^{q-1}\\
Из первого равенства $3^n \equiv 2 \pmod q$
Из второго $3^n \equiv 1 \pmod q$

Противоречие.

[DjD USB]

Да, здесь все легко. Но вот я никак не могу решить уравнение при r=2. Может у кого идеи есть?