Натолкните на мысль как вычислить такой интеграл. Это ТФКП?

[DigitChar]

Здравствуйте.
Натолкните, пожалуйста, на мысль как вычислить такой интеграл, с чего начать?
$I = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin ax}{x(1+x^2)}dx$
Возможно, мы ещё не проходили эту теорию в ВУЗе. Я думаю, что решение может быть связано с ТФКП. Рассчитываю на вашу помощь.

[ИСН]

Да вроде как обычно: большой полукруг.

[Ms-dos4]

ИСН
Ну там нужно ещё проследить за контуром, что бы начало координат обойти.

[DigitChar]

ИСН, Ms-dos4

ИСН в сообщении #799146 писал(а):

Да вроде как обычно: большой полукруг.

Ms-dos4 в сообщении #799150 писал(а):

Ну там нужно ещё проследить за контуром, что бы начало координат обойти.

Можно, пожалуйста, поподробнее об этом.

[ИСН]

Вы слышали про ТФКП и интегрирование по контурам?

[Ms-dos4]

Кстати говоря, что бы вам было легче с выбором контура, можно немного преобразовать выражение, разложив на простые дроби $\[\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2} + {b^2}}}\]$. Получаются коэффициенты $\[A = \frac{{\sin mx}}{{{b^2}}}\]$ и $\[B = - \frac{{x\sin mx}}{{{b^2}}}\]$

$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} dx = \frac{1}{{{b^2}}}(\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{x}dx} - \int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin mx}}{{{x^2} + {b^2}}}dx} )\]$
Первый интеграл - это интеграл Дирихле (кажется так называется), а второй интеграл много лучше первоначального, в том смысле, что у него нет особенностей на действительной оси, и считать его при помощи вычетов очень легко.

[DigitChar]

ИСН в сообщении #799155 писал(а):

Вы слышали про ТФКП и интегрирование по контурам?

У нас ТФКП будет только в след. семестре. Если эту теорию нужно здесь использовать, то придётся разобраться, хотя бы для этой задачи.

[Ms-dos4]

DigitChar
Вам зачем эта задача нужна? Просто в таком случае вам нужно изучать ТФКП практически с нуля, и ради одной задачки как то это...

[DigitChar]

Ms-dos4, я уже читаю, пытаюсь разбираться :)
А с чего начать тут? С того что рассмотреть функцию комплексного переменного $f(z) = \frac{e^{iaz}}{z(1+z^2)} = \frac{\cos az + i\sin az}{z(1+z^2)}$ ? Там потом мнимая часть от интеграла должна получиться?
Мне бы хоть алгоритм в общих чертах понять.

-- 12.12.2013, 00:15 --

Может быть посоветуете хорошие методические пособия по ТФКП с разобранными примерами и рекомендациями?

[Ms-dos4]

DigitChar
Для того, что бы понять алгоритм(и почему это вообще возможно) нужны знания ТФКП. И ещё - я уже сказал, будет легче рассмотреть те два интеграла, к которым я привёл этот. В общем начнём с интеграла $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin mx}}{{{x^2} + {b^2}}}dx} \]$.
(параметр m предполагается положительным!!!)
Заметим, что $\[\frac{\partial }{{\partial m}}\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos mx}}{{{x^2} + {b^2}}}} = - \int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin mx}}{{{x^2} + {b^2}}}dx} \]$. Итак, упростили задачу до предела. Вычислим теперь $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos mx}}{{{x^2} + {b^2}}}} \]$.
Рассмотрим контурный интеграл $\[\oint\limits_L {\frac{{{e^{miz}}}}{{{z^2} + {b^2}}}} dz\]$, где L - верхний полукруг. Особые точки - $\[z = \pm ib\]$, только + лежит внутри контура, тогда $\[\oint\limits_L {\frac{{{e^{miz}}}}{{{z^2} + {b^2}}}} dz = 2\pi i\mathop {{\mathop{\rm res}\nolimits} }\limits_{z \to ib} [\frac{{{e^{miz}}}}{{{z^2} + {b^2}}}] = - 2\pi i \cdot \frac{{i{e^{ - bm}}}}{{2b}} = \frac{\pi }{b}{e^{ - bm}}\]$. Разбивая контурный интеграл на два (по действительно оси и по полуокружности) и устремляя концы на бесконечность, получаем $\[2\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos mx}}{{{x^2} + {b^2}}}} = \frac{\pi }{b}{e^{ - bm}}\]$ (ввиду того, что второй интеграл занулится, т.к. функция удовлетворяет лемме Жордана). Итак, $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos mx}}{{{x^2} + {b^2}}}} = \frac{\pi }{{2b}}{e^{ - bm}}\]$
Теперь получаем $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin mx}}{{{x^2} + {b^2}}}dx} = - \frac{\partial }{{\partial m}}[\frac{\pi }{{2b}}{e^{ - bm}}] = \frac{\pi }{2}{e^{ - bm}}\] $. Как вычисляется интеграл Дирихле уж найдите сами (гугл в помощь), но он равен $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{x}dx} = \frac{\pi }{2}\]$. Тогда т.к. $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} dx = \frac{1}{{{b^2}}}(\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{x}dx} - \int\limits_0^\infty {\frac{{x\sin mx}}{{{x^2} + {b^2}}}dx} )\]$ имеем $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} dx = \frac{\pi }{{2{b^2}}}(1 - {e^{ - bm}})\] $. Ну а ваш интеграл естественно $\[\frac{1}{2}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} = \int\limits_0^\infty {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} dx = \frac{\pi }{{2{b^2}}}(1 - {e^{ - bm}})\]$.
(Если же m - произвольное действительное, а не только положительное, то вообще говоря получится $\[\frac{1}{2}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin mx}}{{x({x^2} + {b^2})}}} = \frac{\pi }{{2{b^2}}}(1 - {e^{ - b\left| m \right|}}){\mathop{\rm sgn}} (m)\]$

-- Ср дек 11, 2013 17:42:19 --

DigitChar
В качестве учебника по вышке вообще, я всегда рекомендую Смирнова. В третьем томе второй части найдёте ТФКП

[DigitChar]

Ms-dos4, огромное спасибо!

[Otta]

Совсем необязательно изучать ТФКП с нуля ради одного интеграла в этом случае, он прекрасно решается с помощью дифференцирования по параметру. А именно, легко показать, что

$$I(a) = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin ax}{x(1+x^2)}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ax}{x(1+x^2)}dx$$

удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, начальные условия $I(0)$ и $I'(0)$ хорошо вычисляются, ответ тот же, естественно:

$$I(a)=\frac\pi 2(1-e^{-|a|})\mathop{\rm sgn}a.$$