abc/(a+b+c) не полный квадрат

[scwec]

Ещё один вопрос на сходную тему. Пусть $a,b,c$ длины сторон геронова треугольника (т.е. длины сторон и площадь треугольника целые числа). В этом случае интерес представляет выражение $D=\dfrac{2abc}{a+b+c}$.
$D$ не обязательно целое число (в отличие от прямоугольного треугольника).
Пусть $D=\dfrac{p}{q}$, где $p,q$ натуральные взаимно простые числа. Докажите, что $q$ обязательно полный квадрат.

[Shadow]

Параметризация Героновых треугольников:

$\\a=k(m^2+n^2)\\ b=n(m^2+k^2)\\ c=(n+k)(m^2-nk)$

Тогда (спасибо Альфе )

$D=\dfrac{kn(k^2+m^2)(m^2+n^2)(m^2-kn)}{m^2}$

[scwec]

Ну да, параметризация Брахмагупты-Кармайкла. А что если числитель со знаменателем имеют общий делитель не квадрат?

[Shadow]

Такое не может быть, потому что если m имеет общий делитель например с "k", то он появится в числителе как минимум в четвертой степени
$k,k^2+m^2,m^2-kn$

и в знаменателе сократится, а если нет, то числитель и знаменатель взаимнопросты.

-- 10.12.2013, 17:27 --

Но, конечно, надо было рассмотреть такую возможность.

[scwec]

Именно это и имелось ввиду, рассмотреть такие возможности.
Вообще, я пользуюсь не 3, а 4-параметризацией. Там все параметры взаимно простые и таких вопросов не возникает. Пару раз я её показывал в разных постах и не буду повторяться.
Теперь, откуда взялось это выражениие для $D$.
Героновы треугольники являются плацдармом для получения эллиптических кривых ранга больше 1.
$y^2=(x+ab)(x+ac)(x+bc)$. Одним из генераторов является точка на этой кривой $(x,y)=\left(\dfrac{-2abc}{a+b+c},\dfrac{4abcS}{(a+b+c)^2}\right)$. ($S$, площадь треугольника, $a,b,c$ длины сторон).
Происхождение $D$ отсюда.
Кстати, а $p$ (числитель) может быть квадратом?

[Shadow]

scwec в сообщении #798809 писал(а):

Кстати, а $p$ (числитель) может быть квадратом?

Может, например при $k=n$

[scwec]

Посмотрите внимательней на формулу для $D$.

[Shadow]

Смотрел несколько раз. Все вроде так. Например для треугольника Герона с сторонами $41,41,18$
$S=360$

$D=\dfrac{2abc}{a+b+c}=\dfrac{60516}{100}=\dfrac{15129}{25}=\left(\dfrac{123}{5}\right)^2$

[scwec]

Я не об этом. $k=n$? Тогда должно быть $m^2-n^2=t^2$ из формулы для $D$. Вы тут просто не договорили о том, что надо еще и $m$ выбрать соответствующим образом.

[Shadow]

(Оффтоп)

scwec, ну естественно же. Неужели подумали, что не смогу "оквадратить" последний множитель.

[scwec]

(Оффтоп)

Не то чтобы так, но прозвучало как для любых $m$. Удивился, конечно.

То, что квадраты для $D$ получаются, совершенно понятно. В данном случае так и должно быть.

[Shadow]

Надо было сразу написать $a=b=m^2+n^2,c=2(m^2-n^2)=2t^2$
Интересно, есть ли неравнобедренные треугольки.

[scwec]

Неравнобедренные треугольники есть. Например, $(20,15,7), S=42, D=100$