Прошу помощи в дифференциальных уравнениях

[DannyPhantom]

Добрый вечер! Есть 2 дифура. Один из них я вроде решил, но не уверен, второй вообще не получается. И так:
$y'=\frac {(y-2x)} {(x+y)}$;
Дальше решение, в котором я не уверен
$y=ux$
$u'x+u=\frac{(u-2)} {(1+u)}$
$u'x=-\frac{(u^2+2)} {(u+1)}$
$\frac{(u+1)}{(u^2+2)}du=\frac{dx} x$
$\frac{\ln(u^2+2)} 2+\ln(u+1)=-lnx+lnC$
$(u+1)\sqrt{u^2+2}=\frac c x$
$(y+x)\sqrt{y^2+x^2}=c$

И ещё 1 дифур:
$2yy''=(1+y')^2$
Я пытался делать через $y'=p, y''=pp'$, но как-то не получается. Заранее всем спасибо :)

[Otta]

DannyPhantom в сообщении #798504 писал(а):

И ещё 1 дифур:
$2yy''=(1+y')^2$
Я пытался делать через $y'=p, y''=pp'$, но как-то не получается.

Что не получается? Нормальная замена.

-- 10.12.2013, 02:30 --

DannyPhantom в сообщении #798504 писал(а):

$\frac{\ln(u^2+2)} 2+\ln(u+1)=-lnx+lnC$

$\ln(u+1)$ откуда?

[DannyPhantom]

Otta в сообщении #798507 писал(а):

Что не получается? Нормальная замена.

у меня потом получается что
$\ln(p+1)+\frac 1 {p+1}=\ln(y)$
и отсюда как-то трудновато найти p, чтоб потом ещё и проинтегрировать

Otta в сообщении #798507 писал(а):

$\ln(u+1)$ откуда?

действительно, ошибся в интеграле, прошу прощения, метод решения и ход мыслей правильный у меня?

-- 09.12.2013, 23:44 --

блин ... теперь ещё и этот интеграл решить не могу. В том дифуре, где y=ux, получается интеграл от $\frac {u+1} {u^2+2}$. Как его взять?

[Someone]

Да как-как. Разбиваете на две дроби $\frac u{u^2+2}$ и $\frac 1{u^2+2}$ и интегрируете. Первый Вы знаете как, а второй обычно считается табличным. И про знаки модуля в логарифмах не забывайте.

[Otta]

DannyPhantom в сообщении #798513 писал(а):

$\ln(p+1)+\frac 1 {p+1}=\ln(y)$

Оно и не обязано легко находиться.

DannyPhantom в сообщении #798513 писал(а):

действительно, ошибся в интеграле, прошу прощения, метод решения и ход мыслей правильный у меня?

Наверное. Вы же до конца не дорешали, как знать, что там может поломаться. Дорешайте, подставьте, проверьте.
Вообще есть способы и попроще.

DannyPhantom в сообщении #798513 писал(а):

получается интеграл от $\frac {u+1} {u^2+2}$. Как его взять?

Ну это уж Вы сами, еще не хватало таблицу интегралов тут писать.