Радикал идеала

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $A$ -- коммутативное кольцо с единицей, $I, J\subset A$ - произвольные идеалы. Положим $\sqrt{I}:=\{a\in A\mid \exists n\in \mathbb{N}: a^n\in I\}$ и обозначим через $IJ$ идеал, порожденный произведениями $ab$ c $a\in I, b\in J$.
Верно ли, что $\sqrt{I\cap J}\subset \sqrt{I}\sqrt{J}$

[patzer2097]

Ward в сообщении #797754 писал(а):

Верно ли, что $\sqrt{I\cap J}\subset \sqrt{I}\sqrt{J}$

Ну рассмотрите $I=J$ и посмотрите что получится.. В качестве $I$ можно взять идеал из темы, которую мы вчера обсуждали

[Ward]

Ну я рассмотрел, но ничего не выходит
Взяв $I$ и $J$ как Вы сказали, то получаем $\sqrt{I}\subset \sqrt{I}\sqrt{I}$ и нужно выяснить верно ли оно. Но на этом я остановился и дальше не получается ничего пока.

-- 08.12.2013, 19:42 --

Как я понял, то нам нужно найти функцию $f\in \sqrt{I}$ такую, что она не представляется как конечная сумма $\sum_{i}x_iy_i$ где $x_i,y_i\in \sqrt{I}$

[patzer2097]

Ward в сообщении #797826 писал(а):

Как я понял, то нам нужно найти функцию $f\in \sqrt{I}$ такую, что она не представляется как конечная сумма $\sum_{i}x_iy_i$ где $x_i,y_i\in \sqrt{I}$

Именно так, только не "функцию", а элемент. Ну и рассмотрите $I=\langle2,t\rangle\subset\mathbb{Z}[t]$. Чему равно $\sqrt{I}$?

Если Вы докажете, что $\sqrt{I}=I$, то останется доказать (например), что $t+2\notin I^2$.

[Ward]

То, что Вы сказали я сделал.
Осталось только показать, что $t+2\notin I^2.$
Т.е. $t+2\neq \sum_{i}x_iy_i$ для всех $x_i,y_i\in I$
А как это сделать? Что-то пока непонятно.

[VAL]

Ward в сообщении #797911 писал(а):

То, что Вы сказали я сделал.
Осталось только показать, что $t+2\notin I^2.$
Т.е. $t+2\neq \sum_{i}x_iy_i$ для всех $x_i,y_i\in I$
А как это сделать? Что-то пока непонятно.

А вы поперемножайте какие-нибудь полиномы из $I$. Посмотрите, какие у них свободные члены и коэффициенты при $t$ получаются.

[patzer2097]

Ward в сообщении #797911 писал(а):

Осталось только показать, что $t+2\notin I^2.$
Т.е. $t+2\neq \sum_{i}x_iy_i$ для всех $x_i,y_i\in I$
А как это сделать? Что-то пока непонятно.

Кстати, на самом деле достаточно даже показать, что $t\notin I^2$... Проверьте, что все полиномы из $I$ имеют четный свободный член и воспользуйтесь советом VAL.

[Ward]

VAL
patzer2097
Спасибо Вам большое! Разобрался!
Благодарю Вас искренне!

[Ward]

А как доказать, что если $I=\langle 2,x\rangle,$ то тогда $I=\sqrt{I}$
Включение $I\subset \sqrt{I}$ очевидно.
А вот как доказать $\sqrt{I}\subset I$. Пытался от противного, но как-то не получается. Может подскажете что-нибудь?

[VAL]

Ward в сообщении #798440 писал(а):

А как доказать, что если $I=\langle 2,x\rangle,$ то тогда $I=\sqrt{I}$
Включение $I\subset \sqrt{I}$ очевидно.
А вот как доказать $\sqrt{I}\subset I$. Пытался от противного, но как-то не получается. Может подскажете что-нибудь?

Почему не выходит?
Пусть у нас есть многочлен с нечетным свободным членом. Может ли у некоторой его натуральной степени быть четный свободный член?

[AV_77]

Пусть $f \in \sqrt{I}$. Тогда $f = a + xg$. Второе слагаемое лежит в $I$. Осталось показать, что $a \in I$. Но это следует из того, что $f^n = a^n + xh$.

[Ward]

VAL
Теперь вышло. Погулял на свежем воздухе и точно такая же идея пришла мне в голову!
Спасибо Вам!