Добрый вечер!
Пытаюсь показать, что ковариантный Hom-функтор

сохраняет декартовы квадраты, то есть пуллбеки. То есть, если у нас есть диаграмма

где

, a

и

, причем для любого объекта

и пары стрелок

, т.ч.

, существует единственный морфизм

такой, что

,

,
то диаграмма

,
c соответствующими стрелками также является диаграммой пуллбека, то есть удовлетворяет тем же свойствам.
Несложно показать (по определению функтора), что эта диаграмма является коммутативной (да и существование вообще: в категории
Set пуллбеки всегда существуют). Но как показать теперь универсальность, т.е. что для любого

и пары стрелок

таких что

, существует единственный морфизм

, такой что

,

?
Я делал так: пускай есть два таких морфизма,

и

, такие что

,

, тогда получаем

, что ни к чему не приводит.
Подскажите, пожалуйста, как завершить доказательство.