Неравенство

[Galua]

Для положительных a,b,c, докажите неравенство:
\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+3b^2+2bc+3c^2} \ge \frac13

[Sergic Primazon]

Galua в сообщении #798319 писал(а):

Для положительных a,b,c, докажите неравенство:
\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+3b^2+2bc+3c^2} \ge \frac13

$$LHS \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{cyc}{a^4+6a^2b^2+2a^2bc}} \ge \frac{1}{3}$$

[Galua]

Sergic Primazon , да. Вот еще:
Для положительных a,b,c,d, таких, что abcd=1, доказать
\sum_{cyc} \frac{1+a}{(1-a)^2} >1

[arqady]

Galua в сообщении #799090 писал(а):

Для положительных $a,b,c,d$ таких, что abcd=1, доказать
\sum\limits_{cyc} \frac{1+a}{(1-a)^2} >1

Функция $f(x)=\frac{1+e^x}{(1-e^x)^2}$ выпукла на $(0, +\infty)$ и на $(-\infty, 0)$.
Поэтому всё дело сводится к неравенству Йенсена и проверке нескольких случаев.