Решить два диффура

[DigitChar]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться как решить такие дифф. уравнения (это уравн., допускающие понижения порядка):
(1) $xyy''=y'(y+y')$
(2) $xy''=y'+x(y'^2+x^2)$
Они не интегрируются в квадратурах, т.к. участвуют все: $x, y, y', y''$ - в (1) и $x, y', y''$ - во (2).
Уравнение (1) однородное относительно $y$ и его производных, но замена $y'=yu(x)$ к хорошему не привела.

[svv]

DigitChar в сообщении #796009 писал(а):

Уравнение (1) однородное относительно $y$ и его производных, но замена $y'=yu(x)$ к хорошему не привела.

А такого быть не может. У Вас должно было сократиться $y$.
Чему у Вас равно $y''$ после подстановки? Вся левая часть? Вся правая часть?

[DigitChar]

svv в сообщении #796021 писал(а):

Чему у Вас равно $y''$ после подстановки?

$y'=yu, y''=yu^2+yu'$

[svv]

Так. Выносим за скобку $y$ (это должно быть на автомате), получаем $y(u'+u^2)$.
Вся левая часть будет $xy^2(u'+u^2)$. Правильно?
А правая?

[DigitChar]

svv в сообщении #796023 писал(а):

А правая?

Подставляем, получим:
$xy(yu^2+yu')=y^2 u+y^2 u^2 | :y^2$
$xu^2+xu'=u+u^2$
Спасибо с уравнением (1)

[svv]

А дальше знаете что с (1) делать?

[DigitChar]

Что же делать с уравнением (2)?

[SpBTimes]

Замена $z = \frac{y'}{x}$ вроде проходит.

[DigitChar]

svv в сообщении #796027 писал(а):

А дальше знаете что с (1) делать?

Да, спасибо.
Уравнение $xu^2+xu'=u+u^2$ или $xu'-u+(x-1)u^2 = 0$ - это уравнение Бернулли. Делаем подстановку $u = zv$.
У меня получился такой ответ: $y = C_2(C_1x-(1+C_1))^{1+C_1}\cdot(C_1x+1-C_1)^{1-C_1}$

SpBTimes в сообщении #797704 писал(а):

Замена $z = \frac{y'}{x}$ вроде проходит.

У меня получилось так.
Это уравнение не содержит явно $y$.
Делаем подстановку $u = y', u' = y''$.
Получаем $xu' = u+x(u^2 + x^2)$.
Делаем подстановку $u = zx, u' = z'x+z$.
В результате вычислений получается такой ответ: $y = -\ln{|\cos(\frac{1}{2}x^2 + C_1)|+C_2}$.

Спасибо всем