Линейная алгебра

[Tosha]

Здравствуйте, по 2 задачам возникли вопросы...
1) Найти систему уравнений, множеством решений которой является линейная оболочка векторов $x_1=(1, 1, 1)$, $x_2=(1, 2, 3)$.
С чего тут начать? То есть нужно найти матрицу $A$, такую, что $A\cdot x_1=0$ и $A\cdot x_2=0$ ? У этой матрицы должно быть $4$ столбца, чтобы было определено умножение. А сколько строк. Верно ли это?
2) Дополнить набор линейно независимых векторов $(1, 1,-2, 3)$, $(2,-3, 5, 6)$ до базиса пространства $\mathbb{R}^4$.
Из каких соображений искать этот набор векторов?

[provincialka]

1) Почему четыре столбца? У вас же векторы трехмерные. А строку можно взять и одну. Разве что это трудно назвать "системой". По-крайней мере, найдите условие на эту матрицу из одной строки. А потом из ее решений можете построить столько строк, сколько захотите.

2) Из соображений линейной независимости. Там простор для решений большой.

[Tosha]

Спасибо, понятно!
1) Нужно, чтобы строчки были ортогональны этим столбцам. Можно взять такие? $(1;1;-2);(1;1;-1);(2;2;-4)$?
2) Понимаю, что там должно быть два вектора... Нам нужно еще 2 линейно независимых вектора, которые также линейно независимы с каждым из двух данных. Пока не могу догадаться -- что еще можно сделать...

[provincialka]

1) Нет, не такие. Ведь каждая строка ортогональна сразу обоим заданным векторам! Вот и составьте систему уравнений на компоненты этой строки.
2) Ну, возьмите первые координаты этих векторов за нули, например, можно искать пару векторов вида $(0,0,a,b)$ и $(0,0,0,c)$. Впрочем, можно сразу положить $a=c=1$. А для $b$ проверить, какие значения оно может принимать.

[Tosha]

provincialka в сообщении #798006 писал(а):

1) Нет, не такие. Ведь каждая строка ортогональна сразу обоим заданным векторам! Вот и составьте систему уравнений на компоненты этой строки.
2) Ну, возьмите первые координаты этих векторов за нули, например, можно искать пару векторов вида $(0,0,a,b)$ и $(0,0,0,c)$. Впрочем, можно сразу положить $a=c=1$. А для $b$ проверить, какие значения оно может принимать.

Спасибо, теперь все ясно!