Нахождение производных

[sunday]

Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильность нахождения производных. Если есть ошибки, пожалуйста, исправьте их и объясните алгоритм решения.

1) $y=\frac{e^{x}\tg x}{\sqrt{x^{3}+2}}$
$y'=\frac{e^{x}\tg x+e^{x}\sec^2x(\sqrt{x^{3}+2})-(e^{x}\tg x)(\frac{3x^{2}}{2}(x^{3}+2)^{-1/2})}{({\sqrt{x^{3}+2}})^{2}}$

2) $y=e^{-3x}\arcsin5x$
$y'=-3e^{-3x}\arcsin5x+e^{-3x}\frac{5}{\sqrt{1-25x^{2}}}$

3) $y=\tg x^{2^{x}}$
$y'=(\ln 2)2^{x}\ln \tg x+2^{x}\ctg x\sec^2x\tg x^{2^{x}}$

Что касается третьего примера, я мог бы с уверенностью решить $y=\tg x^{2x}$, но в моём случае икс стоит в степени двойки. Что делать в таких случаях, я не знаю. Попробовал решить, как смог.

Заранее благодарен за помощь.

[SpBTimes]

Первые 2 верно. А в последней воспользуйтесь представлением $f^g = e^{g \ln f}$.
У вас неверно.

[sunday]

SpBTimes в сообщении #797699 писал(а):

Первые 2 верно. А в последней воспользуйтесь представлением $f^g = e^{g \ln f}$.
У вас неверно.

Cпасибо, что откликнулись.
Так я так и делал: $y=e^{2^{x}\ln \tg x}$
Потом $y'=e^{2^{x}\ln \tg x}(2^{x}\ln \tg x)'$
Верно?

[SpBTimes]

Так правильно. Но это неэквивалентно тому, что написано у вас :)

[AV_77]

$\left( \frac{ab}{u} \right)' = \frac{a'bu + ab'u - abu'}{u^2} \neq \frac{a'b + ab'u - abu'}{u^2}$

[SpBTimes]

Ой, я это проглядел.

[sunday]

$y=e^{2^{x}\ln \tg x}$
Потом $y'=e^{2^{x}\ln \tg x}(2^{x}\ln \tg x)'$
$y'=e^{2^{x}\ln \tg x}((2^{x})'\ln \tg x+2^{x}(\ln \tg x)')$
$y'=e^{2^{x}\ln \tg x}(\ln {2}) 2^{x}\ln \tg x+\frac{2^{x}}{\tg x \cos^{2}x}$

[AV_77]

$\ln \tg x^{2^x} \neq 2^x \ln \tg x$

[sunday]

AV_77 в сообщении #797719 писал(а):

$\ln \tg x^{2^x} \neq 2^x \ln \tg x$

А как же свойство логарифма о том, что показатель степени выносится вперёд?

[AV_77]

Если бы было $\ln (\tg x)^{2^x}$, то можно было бы выносить. Вы же показатель не только из-под логарифма выносите, но еще и из-под тангенса.

[sunday]

AV_77 в сообщении #797723 писал(а):

Если бы было $\ln (\tg x)^{2^x}$, то можно было бы выносить. Вы же показатель не только из-под логарифма выносите, но еще и из-под тангенса.

Действительно!

Как же тогда быть? Использовать свойство $f^g = e^{g \ln f}$ два раза?

[SpBTimes]

Да

[AV_77]

Надо по формуле производной сложной функции: $(f(u^v))' = f'(u^v) (u^v)'$

[sunday]

Правильный ли ответ на первое выражение:

$y'=\frac {e^{x}(\tg x)(\sqrt {x^{3}+2})+\frac {e^{x}}{\cos^{2}x}(\sqrt {x^{3}+2})-e^{x}(\tg x)(\frac{3x^2}{2}(x^{3}+2)^{-1/2})}{\sqrt {x^{3}+2}^{2}}$

?

SpBTimes в сообщении #797727 писал(а):

Да

Если Вам не сложно, вообразите, пожалуйста, как это будет выглядеть, ибо я совсем не понимаю, что уйдёт из степени после первой замены..

[iifat]

Если не уверены, попробуйте написать алгоритм (обобщённый) вычисления функции. Как вычислить, например, $y=\frac{e^{x}\tg x}{\sqrt{x^{3}+2}}$:
$y_1=\tg x$, $y_1'=\frac1{1+x^2}$
$y_2=e^x$, $y_2'=e^x$
$y_3=y_1y_2$, $y_3'=y_1'y_2+y_1y_2'$
$y_4=x^3+2$, $y_4'=3x^2$
$y_5=\sqrt{y_4}$, $y_5'=\frac{y_4'}{2\sqrt{y_4}}$
Ну и так далее. По шагам. Потом всё подставить.