Преобразование Фурье (плотности, хар. ф-ции, однозначность)

[Юстас]

Пусть имеется некоторая "хорошая" функция $\phi(t)$, и пусть ее преобразование Фурье, определенное как $p(x)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(t)e^{-itx}dt$ является плотностью некоторого вероятностного распределения, то есть $p(x)$ неотрицательна и ее интеграл равен 1. Верно ли тогда, что $\phi(t)$ обязана быть преобразованием Фурье плотности $p(x)$? Верно ли более общее утверждение: если преобразования Фурье функций равны, то и сами функции равны?

[Brukvalub]

Юстас писал(а):

Верно ли тогда, что $\phi(t)$ обязана быть преобразованием Фурье плотности $p(x)$?

Юстас писал(а):

Верно ли более общее утверждение: если преобразования Фурье функций равны, то и сами функции равны?

Есть обратное преобразование Фурье, и классическая теорема об условиях, при которых это обратное преобразование однозначно восстанавливает исходную функцию. См., например, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций и функционального анализа

[ZheniaM]

Тут, скорее, надо почитать про характеристические функции распределений (так как речь шла о плотности вероятности). Советую посмотреть Ширяева А.Н. "Вероятность" (да можно и любую другую книгу по теории вероятностей) - там подробно рассмотрены интересующие Вас вопросы. В частности, доказывается теорема единственности, которая утверждает, что если две функции распределения имеют одну и ту же характеристическую функцию, то они совпадают.

[Юстас]

В Колмогорове все замечательно описано, я нашел все что было интересно.