Нахождение предела. Демидович 52

[Vertex]

$\lim\limits_{n \to +\infty } \Bigl|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{(n-1)}n}{n}\Bigr|$
Собственно, с чего начинать решение даже не знаю. Что делать с знакопеременной прогрессией?

[SpBTimes]

Ну можете взять и посчитать сумму положительных, а потом сумму отрицательных, а потом того-этого... Ну, ясно что потом.

[Otta]

Надо читать так:
$\lim\limits_{n \to +\infty }\left|\frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - ... + \frac{(-1)^{(n-1)}n}{n}\right|$.
Обратите внимание на модуль. У Вас Демидович новый, в нем опечатка.

[SpBTimes]

Otta

(Оффтоп)

Никогда не понимал, как в новых изданиях делают опечатки? Там же вроде исправляют оные, оставшиеся из старых изданий...

[Otta]

SpBTimes

(Оффтоп)

Ну а как ТС успел еще и свою привнесть, про $x$? Вот так же.

[Vertex]

Спасибо, поправил формулу. И Демидовича с модулем нашел :)
Проверьте, пожалуйста, решение. С ответом сошлось, но на всякий случай
Первая прогрессия $\Bigl( \frac{1}{n}+\frac{3}{n} + ... + \frac{2n-1}{n}\Bigr)$
Вторая прогрессия $\Bigl( \frac{2}{n}+\frac{4}{n} + ... + \frac{2n}{n}\Bigr)$

У обоих по $\frac{n}{2}$ членов

Сумма первой прогрессии в итоге: $\frac{n}{2}$
Сумма второй прогрессии: $-\frac{1 + n}{2}$
Итого имеем $\Bigl|\frac{n}{2} - \frac{1 + n}{2}\Bigr| = \frac{1}{2}$

[SpBTimes]

Это одна подпоследовательность, когда заканчивается четным. Надо и вторую рассмотреть, для порядка.

[Vertex]

Например подставить $n = 2k+1$ и пересчитать?

[SpBTimes]

Не например, а именно так. Т.к. пока что Вы нашли предел подпоследовательности $x_{2n}$

[Vertex]

Всем спасибо!

[provincialka]

Ну, не то чтобы полностью пересчитать. Добавить одно слагаемое.

[Vertex]

Ну т.е. в полученные суммы для $n$ подставить $2k+1$ верно?

[provincialka]

А, просто добавить нельзя, там же и знаменатель меняется. Я-то считала только числители.
Вообще, мне кажется, можно решать в общем виде: разбить на пары слагаемых, сумма в каждой постоянна. Плюс, быть может, последнее, без пары.

[svv]

Если слагаемых четное количество, мы группируем их так:
$1-2$
$3-4$
...
А если их нечетное количество, можно приписать в начале $-\frac 0 n$ и сгруппировать так:
$-0+1$
$-2+3$
...
Теперь их уже четное количество и последний элемент не останется без пары.
В первом случае сумма каждой пары была $-1$, во втором $+1$.

[Otta]

svv
Изящненько так.