Найти предел суммы

[ANTON255200]

$\lim_{n \to \infty} (\frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 2 }{3 ^{2}} + ... + \frac{ n }{ 3^{n} }) $
Забил все это дело в Wolfram Alpha, получил следующее:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... -%3Einf%5D
Во-первых, искомый предел равен $\frac{ 3 }{ 4 }$. Во-вторых, там дана зависимость этой суммы от n, как получить которую я не знаю. Возможно, для нахождения искомого предела, надо "зажать" эту сумму, но это я пока не придумал, как сделать. Это задача из ЗФТШ, со звездочкой, решить надо по возможности "человеческими" способами.

[gris]

Такие штуки без знания рядов и дифференцирования/интегрирования решаются довольно нудно через разложение их в несколько прогрессий. А если знаете начала матанализа, то эта задача очень проста.

[provincialka]

Простейший способ - через степенной ряд. Еще два.
1. Вывести рекуррентную формулу. Умножить на 3 и свести к предыдущему члену.
2. Разбить слагаемое $\frac{n}{3^n}$ как $n$ слагаемых вида $\frac1n$

[Otta]

provincialka в сообщении #797406 писал(а):

Разбить слагаемое $\frac{n}{3^n}$ как $n$ слагаемых вида $\frac1n$

как $n$ слагаемых вида $\frac{1}{3^n}$, конечно же.

[gris]

Давным-давно я тут подобную задачу решил возведением геометрической прогрессии в квадрат
Но было сказано, что стандартным способом является-таки дифференцирование.