Задача (рациональные числа)

[KiberMath]

Задача
Докажиет, что елси k - целое число, не являющееся квадратом целого числа, то оно не является квадратом никакого рационального числа.

Решение
Допустим сначало, что k <1
$\frac{m^2}{n^2} = k$

k - целое число

m < n, целые числа, взаимно простые

m^2 = k\cdot n^2

это означает, что m=k \cdot p

k^2 \cdot p^2 = k \cdot n^2

k \cdot p^2 = n^2

сл-но

n = k \cdot p_1

Откуда следует, что дробь $\frac{m^2}{n^2}$ можно сократить на k, что противоречит предположению что дробь несократима

Если k>1 рассуждения почти такие же

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

Допустим сначало, что k <1

Ясно, что отрицательные целые числа не могут быть квадратом какого-либо числа, а 0 является квадратом целого числа, поэтому нет смысла рассматривать подробно случай k <1. Лучше напишите решение сразу для k>1.

[KiberMath]

k>0

тогда
предположим, что
$k=(g + \frac{m}{n})^2$

k- целое число
g - целое число
m>n, взаимно простые целые числа

$k = g^2 + 2\cdot g \cdot \frac{m}{n} + (\frac{m}{n})^2$

$ 2\cdot g \cdot \frac{m}{n}$ - может быть целым числом (например$\sqrt{k} = 3\frac{2}{3}$)

$ (\frac{m}{n})^2 $тоже должен быть целым числом, чтобы kбыло целым числом, но оно им быть не может, доказано в предыдущем посте =)

следовательно k - не может быть рациональным числом

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

$k \cdot p^2 = n^2$

сл-но

$n = k \cdot p_1$....

А вот это место нужно разъяснить поподробнее

[KiberMath]

Brukvalub

Если в разложении числа n на множители нет числа k, то его не будет и в n^2, поэтому чтобы n^2 = kp^2 необходимо, чтобы n = kp_1

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

$k^2 = g^2 + 2\cdot g \cdot \frac{m}{n} + \frac{m}{n}^2$

Здесь - арифметическая ошибка, да и вообще - все как-то "кривовато". Например,

KiberMath писал(а):

$ 2\cdot g \cdot \frac{m}{n}$ - может быть целым числом (например$k = 3\frac{2}{3}$)

Но у Вас же к - целое, а Вы предлагаете брать его нецелым. В общем, поработайте ещё

[нг]

KiberMath
Поменяйте, пожалуйста, заголовок темы (для этого надо редактировать заголовок первого сообщения) на более информативный, описывающий задачу.

[незваный гость]

KiberMath писал(а):

Если в разложении числа n на множители нет числа k, то его не будет и в n^2

Это не вполне верное утверждение. Например, $225 = 15^2$ делится на $75$, но $15$, увы, нет.

[KiberMath]

незваный гость писал(а):

:evil:

KiberMath писал(а):

Если в разложении числа n на множители нет числа k, то его не будет и в n^2

Это не вполне верное утверждение. Например, $225 = 15^2$ делится на $75$, но $15$, увы, нет.

Поправляю на:
Если в разложение числа n на простые множители нет всех простых множителей, входящих в число к, то в числе n^2 не будет простых множителей, входящих в разложение числа к

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

KiberMath писал(а):

$k^2 = g^2 + 2\cdot g \cdot \frac{m}{n} + \frac{m}{n}^2$

Здесь - арифметическая ошибка, да и вообще - все как-то "кривовато". Например,

KiberMath писал(а):

$ 2\cdot g \cdot \frac{m}{n}$ - может быть целым числом (например$k = 3\frac{2}{3}$)

Но у Вас же к - целое, а Вы предлагаете брать его нецелым. В общем, поработайте ещё

Исправил

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

елси k - целое число, не являющееся квадратом целого числа

Где в доказательстве Вы используете именно это условие?

[KiberMath]

KiberMath писал(а):

k>0

тогда
предположим, что
$k=(g + \frac{m}{n})^2$

Предположил обратное, что к - целое число,не являющееся квадратом целого числа
$g + \frac{m}{n} $ - не целое число

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

Предположил обратное, что к - целое число,не являющееся квадратом целого числа

из формулы $k=(g + \frac{m}{n})^2$ не ясно, почему это противоположно утверждению, что к является квадратом целого числа. В общем, пока все очень мутно. Приведите свои мысли в порядок.

[KiberMath]

Brukvalub
Аха. хорошо, тогда я запишу так.

Предположу, что к может быть квадратом не целого числа и запишу это формулой.

$k= (g+\frac{m}{n})^2$
где
m, n, g - целые числа
m<n
m и n не имеют общих делителей.

Так написать можно?

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

Так написать можно?

Да, это верный вывод, только Вы предположили, что к является квадратом не целого, но рационального числа (как и говорилось в условии).

[Елена84]

Мне кажется, что выделять что-то вроде целой части нет смысла.
Решение:
от противного. k=p^2\q^2.
Рассмотрим степень любого простого делителя числа k, t, то есть k делится на ,t^s но
k не делится на t^(s+1).
Максимальная степень t, на которую делится p^2, четная.
Максимальная степень t, на которую делится q^2, четная.
Тогда, по предположению, максимальная степень t, на которую делится k=p^2\q^2, чётная,
как разница двух четных чисел.
Значит любая макс.степень любого простого делителя числа k,четная. Значит k -
четное число.
Мне это представляется естественным решением в данном случае