Преобразование тензора 3-го ранга

[DewDrop]

Имеется антисимметричный тензор третьего ранга, ненулевые компоненты которого имеют вид: $F_{123}=$$\psi$; $F_{012}=-B_{z}; F_{023}=-B_{x};F_{013}=-B_{y}$. Найти закон преобразования скалярного поля $\psi$ и компонент вектора B при преобразовании Лоренца.
Как такое делать? Даже не знаю с чего начать.

[lucien]

Рассмотрите 4-вектор $A^\mu=\epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma}F_{\alpha\beta\gamma}$.

[Taus]

DewDrop
Как преобразуются компоненты 4-х вектора при преобразовании Лоренца? Если вы понимаете что такое тензор, то ответить на вопрос, как преобразуются компоненты тензора при преобразованиях Лоренца, не составит труда.

[DewDrop]

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. При этом все тензоры (над одним векторным пространством), независимо от их ранга, преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуются по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент. То есть, если я правильно понял, надо записать матрицу Лоренца ( она в данном случае является матрицей преобразования) и построить дуальную к ней( поскольку у нас есть дополнительный нижний индекс). Сама матрица Лоренца:
$ \begin{bmatrix} \gamma&-\dfrac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\dfrac{v}{c}\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} $
Как построить к ней дуальную и что такое вообще дуальный тензор ( в интернете мало написано)

[Munin]

Нет, дуальную к матрице Лоренца записывать не надо. Вам даны два рецепта:
lucien: Записать дуальный тензор к вашему исходному заданному в задаче тензору 3-го ранга. Получится вектор (тензор $4-3=1$-го ранга), а уж как его преобразовывать - очевидно.

Taus: Действовать по универсальным правилам для всех тензоров, которые вы тут и озвучили: "по тому же закону, что и соответствующие компоненты... blah-blah-blah-blah". Это надёжный рецепт, но с дуальностью ничего общего не имеет. Если вы ещё не разбираетесь, как преобразуются тензоры вообще, то лучше вам последовать по этому рецепту, чтобы натренироваться в основах.

[Утундрий]

DewDrop в сообщении #796885 писал(а):

$F_{012}=-B_{z}; F_{023}=-B_{x};F_{013}=-B_{y}$.

В последнем равенстве я бы переставил $3$ и $1$.

[DewDrop]

Сделал обоими способами, все сошлось. Но способ с тензором Леви-Чевиты гораздо удобнее и красивее. Если считать в лоб (второй способ), то там надо быть очень внимательным. Спасибо.

[Утундрий]

DewDrop в сообщении #797449 писал(а):

Если считать в лоб (второй способ), то там надо быть очень внимательным.

Вообще-то в выкладках не появится более четырёх слагаемых за раз, два из которых к тому же тут же и обнулятся.

[DewDrop]

Утундрий
Ну вообще да, только каждый раз смотреть какие слагаемые и так 4 раза

[Munin]

DewDrop в сообщении #797449 писал(а):

Но способ с тензором Леви-Чевиты гораздо удобнее и красивее.

Вот теперь вы можете его оценить :-) Но будьте внимательны: он хорошо работает только на полностью антисимметричных тензорах (3 и 4 ранга, если в 4-мерном пространстве).

[romanlos]

А ответа случайно не осталось?

[svv]

На этом форуме, отвечая на вопрос, нельзя приводить готовый ответ. Можно дать советы, наводящие соображения, выше это уже сделано.
Попробуйте этими советами воспользоваться, запишите формулы. Если появятся конкретные затруднения, опишите, и Вам помогут.