Деление на ноль

[grim2d]

Я знаю, что на ноль делить нельзя. Но в голове не решается этот вопрос:
Скажем число $N;
Если $N > 1$, то $\frac{1}{N} < 1$

Но если $N < 1; N \neq 0 $, то $\frac{1}{N} > 1$

Чем ближе на ноль, тем выше результат.

Значит, $\frac{1}{0} = \infty$.
Даже по тригонометрии, тангенс должен возвращать бесконечность, когда $\alpha = 0$

Итак, вопрос?

Делить на ноль действительна нельзя или из-за неопределённости числа мы игнорируем это?

[Xaositect]

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, надо вспомнить, а что же такое деление.

Вот даны нам два числа $a$ и $b$. Что такое $a/b$ по определению, помните?

[venco]

grim2d в сообщении #797055 писал(а):

$\frac{1}{0} = \infty$.

Бесконечность - это не число, так что эта запись не имеет смысла. Какой-то смысл можно придать если рассматривать не числа, а пределы (последовательности, функции), в этом случае есть смысл и у бесконечности, и у деления на ноль, но не забывайте, что этот ноль - не число.

[grim2d]

Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.

[Xaositect]

grim2d в сообщении #797066 писал(а):

Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.

Верно.
То есть, $1/0$ - это такое число $x$, для которого $0\cdot x = 1$. Дальше понятно?

[grim2d]

Цитата:

Верно.
То есть, $1/0$ - это такое число $x$, для которого $0\cdot x = 1$. Дальше понятно?

Понятно.

[391q]

Цитата:

Если $N > 1$, то $\frac{1}{N} < 1$

Но если $N < 1; N \neq 0 $, то $\frac{1}{N} > 1$

Чем ближе на ноль, тем выше результат.

Это верно, но если в этих рассуждениях заменить $1$ на $-1$, то получится, что чем ближе $N$ к нулю, тем меньше результат. Не может же $\frac{1}{0}$ равняться и $\infty$, и $-\infty$ одновременно.

Кстати, а почему нельзя придумать определение для деления на ноль? В комплексных числах имеет смысл операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Почему нельзя что-то подобное придумать и для деления на ноль?

[Joker_vD]

391q
Если требовать, чтобы деление было обратным действием к умножению, то придется уметь решать $0\cdot x=1$. Однако ноль и один — очень особые элементы. Ноль — нейтральный элемент сложения. Один — нейтральный элемент умножения. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом, который, собственно, и дает все интересные свойства... а его немедленным следствием является тождество $0\cdot x = 0$.

Отказывайтесь от дистрибутивности.

[Xaositect]

391q в сообщении #797079 писал(а):

Кстати, а почему нельзя придумать определение для деления на ноль? В комплексных числах имеет смысл операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Почему нельзя что-то подобное придумать и для деления на ноль?

Потому что, как написано выше, для того, чтобы определить $1/0$ придется отказаться от свойства $0\cdot x = 0$. В принципе, можно захотеть от него отказаться. Но оно следует из следующих вещей: $0 + x = x$ (определение нуля), $0\neq 1$ (без этого вообще становится все равно, в смысле $\forall x y ( x = y )$), $(a + b)c = ac + bc$, $a + c = b + c\Rightarrow a = b$. То есть придется отказаться от одного из двух последних. Все это становится очень неудобно.

[provincialka]

391q в сообщении #797079 писал(а):

Не может же $\frac{1}{0}$ равняться и $\infty$, и $-\infty$ одновременно.

Может. В математике вводятся разные "бесконечности". Есть два подхода: добавляем к числовой прямой одну бесконечность, $\infty$, у нее нет знака, как и у нуля. Или две бесконечности, $+\infty$ и $-\infty$. Можно считать, что $+\infty$ получается делением на $+0$. Конечно, надо понимать это как высказывание о пределах.
Аналогично, если величина стремится к 0, оставаясь отрицательной, то обратная к ней стремится к $-\infty$. Но можно сказать, что она и бесконечна большая, стремится к просто бесконечности.

Символы $\infty$ и $+\infty$ не совпадают по смыслу.

[JMH]

provincialka в сообщении #797100 писал(а):

Конечно, надо понимать это как высказывание о пределах.

В том-то и дело - все эти плюсики-минусики имеют отношение только к поведению последовательности или функции. Если же говорить о компактификации множества действительных чисел, то это достигается добавлением одной точки.

[provincialka]

Чего так? Почему нельзя две бесконечности добавить?

[DoubleBubble]

Ну и ещё добавлю, что если можем делить на ноль, то можно получить странные вещи.
К примеру пусть $a\neq b$
Но с другой стороны $a\cdot0 = b\cdot0 = 0$.
Сокращаем на ноль и получаем противоречие.
Хотя по сравнению с приведёнными аргументами это школьный уровень

[JMH]

Я не сказал "нельзя", просто $\mathbb{R}$ компактифицируется добавлением одной точки $\infty$ и полученное пространство имеет хорошие свойства.

[Aritaborian]

Но множество, получаемое добавлением к $\mathbb{R}$ элементов $-\infty$ и $+\infty$, тоже обладает хорошими свойствами ;-) Всё зависит от потребностей.