В предыдущих темах "Вероятность натурального числа быть простым", "Противоречия гипотез о простых числах" в обсуждениях с заслуженными участниками Руст и shwedka было показано, что формально на данный момент существуют только 2 случая:
Уточню.
Из рассмотренных на данный момент имеются только два случая:
1. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на конечном интервале натурального ряда, которая является конечно-аддитивной вероятностной мерой.
2. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на бесконечном интервале натурального ряда (асимптотическая плотность), которая является конечно-аддитивной мерой, но не вероятностной, так как для нее не выполняется счетная аддитивность.
Замечательно, что Вы это зафиксировали. И не пытайтесь выдать другие 'модели' за эти.
В данной теме я применю указанные "модели" к конкретным последовательностям.
Асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) определяется, как:

.
Указанная асимптотическая плотность обладает интересным свойством по отношению к последовательностям

,

и

, где

- простые числа, а n -натуральное число:

,

,

.
Таким образом, мы видим, что по отношению к асимптотической плотности "события" деления на различные простые числа являются независимыми.
Однако, асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности, как ранее говорилось,
не является вероятностной мерой из-за не выполнения свойства счетной аддитивности, поэтому из указанной независимости не следует независимость противоположных событий, (отсутствия делимости на различные простые числа) которое меня больше интересует.
По-другому обстоит дело с плотностью целочисленной строго возрастающей последовательности на ограниченном интервале натурального ряда, которая, как говорилось выше, является конечно-аддитивной
вероятностной мерой.
Хотя тут возникают другие проблемы:
1. Из-за конечности интервала натурального ряда [1,x] плотность последовательности

(р-простое, а n- натуральное число)

отличаются от

, поэтому при допущении

возникает ошибка. Проблемой является ее оценка.
2. Необходимо показать, что в определенных случаях эта ошибка мала настолько, что можно предположить независимость событий деления натурального числа из конечного интервала [1,x] на разные простые числа.
3. Оценить ошибку предположения независимости противоположных событий (отсутствия делимости натурального числа из конечного интервала [1,x] на разные простые числа).
4. С помощью указанной оценки ошибки найти суммарную ошибку в определении плотности последовательности простых чисел на конечном интервале натурального ряда [1,x].
5. Проанализировать полученный результат и сопоставить его с уже известными.
Хотелось бы обсудить результаты работы и получить замечания или предложения по улучшению ее качества.
А теперь заканчиваю введение и начнем. Благодарен модератору, который настоял на этом введении.
Обозначим

последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число

. Данная последовательность имеет вид

, где n - натуральное число. Асимптотическая плотность данной последовательности равна

.
Рассмотрим плотность данной последовательности на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] -

(1).
В случае, если

, где N - натуральное число, то на основании (1) -

(2), т.е. равна асимптотической плотности.
В случае, если

, то

с ошибкой.
Максимальное значение абсолютной ошибки равно:
![$\Delta_1=1/p_1-N/(p_1N+(p_1-1)) =1/p_1(1-1/(1+p_1-1/p_1N)=1/p_1(\frac {p_1-1/p_1N} {1+p_1_1/p_1N}<1/p_1N=1/p_1[x/p_1].(3)$ $\Delta_1=1/p_1-N/(p_1N+(p_1-1)) =1/p_1(1-1/(1+p_1-1/p_1N)=1/p_1(\frac {p_1-1/p_1N} {1+p_1_1/p_1N}<1/p_1N=1/p_1[x/p_1].(3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/7/907100bcf9b40691cc3ce84bfd8265d282.png)
Относительная ошибка равна:
![$\Delta_{1o}<1/[x/p_1]$ $\Delta_{1o}<1/[x/p_1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/b/fbbda5da6843e2eca049e925c55dda2982.png)
.(4)
Следовательно, при большом х абсолютная ошибка

.(5), а относительная ошибка

.(6)Например, при

и

значение

, в

.
Таким образом, при большом х величины указанных ошибок малы.