Потребовалось упростить выражение

[Rick]

Доброго времени суток
Возникла проблемка
$a + b\cdot a/\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2x} = c\cdot d/\sqrt{c^2-(c^2-d^2)\cos^2x}$
нужно вытащить значение косинуса угла
Ну ес-но пробовал возводить в квадрат обе части, но безрезультатно.
Группировал корни,возводил-результат тот же
Как тут быть?

[Someone]

Rick в сообщении #796820 писал(а):

нужно вытащить значение косинуса угла
Ну ес-но пробовал возводить в квадрат обе части, но безрезультатно.

Попробуйте возводить в куб, в четвёртую степень, в пятую и так далее. Это же "ес-но".

Rick в сообщении #796820 писал(а):

Группировал корни,возводил-результат тот же

Не вижу никаких корней в Вашем выражении. Может быть, Вы написали не то, что хотели?

[Rick]

Ой,совсем уже я. Все-таки 2 часа ночи
Изменил

[svv]

А в правой части в начале нет слагаемого $c^2$ или $d^2$, по аналогии с левой частью?
Вообще, тщательно проверьте, все в порядке?

-- Пт дек 06, 2013 00:45:32 --

Ну а, все-таки, то, что в левой части есть $a+...$, а в правой нет $c+...$. Это правильно?
Не хочется же зря стараться.

[Rick]

Да,там именно так.

[provincialka]

Такое равенство: $a +\frac{ b\cdot a}{\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2x}} = c+\frac{c\cdot d}{\sqrt{c^2-(c^2-d^2)\cos^2x}}$? А что известно о параметрах? Левая часть представляет собой монотонную функцию от $t=\cos^2x$, меняющуюся от $2a$ до $a+b$. Если числа $2c,c+d$ соответственно меньше их, то решений нет.

[svv]

provincialka
Я так понял ТС, в правой части слагаемого $c$ всё-таки нет.
Просто в одном из первых вариантов его сообщения там что-то подобное было.

[Rick]

Вообще в книге предлагалась такая запись, но преподаватель сказал, что там опечатка в издании была и что там есть еще двойка в правой части,хотя на вывод она не влияет вроде как
В конечном итого вот так выглядит выражение:
$a + b\cdot a/\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\cos^2x} = 2\cdot c\cdot d/\sqrt{c^2-(c^2-d^2)\cos^2x}$
Выражение это получилось из эллипса показателей преломления для генерации второй гармоники в оптически отрицательном кристалле. Параметры a,b,c,d - показатели преломления. В общем какое-то сооношение между ними вводить не получится(насколько я знаю).

[svv]

Упростить это выражение не удастся. Вы можете привести это к уравнению 4-й степени, но особого смысла в этом нет. Явные формулы для корней сложны.

В книге Richard Sutherland «Handbook of Nonlinear Optics» (стр. 59-60) выписаны уравнения для $\sin^2\theta$ для разных ситуаций. Там, где $\sin^2\theta$ можно выразить в явном виде, это сделано, но там, где нельзя или будут очень запутанные формулы, зависимости так и оставлены в неявном виде (и Ваш случай тоже).

[Rick]

svv в сообщении #796959 писал(а):

Упростить это выражение не удастся.

Весь смысл в том, что оно как-то упрощается.

[Евгений Машеров]

Можно поделить числители и знаменатели соответственно на a и c. К сожалению, а ещё и слагаемое, так что число параметров сократится не до 2, а до 3.
Можно умножить на корни в знаменателях, чтобы они ушли в числитель.
Но дальше, боюсь, только численно.

-- 06 дек 2013, 22:54 --

Или приближённо, если $a\approx b$ и $c \approx d$, то после таких упрощений можно использовать $\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$

[10110111]

Цитата:

Весь смысл в том, что оно как-то упрощается.

В таком виде, как дано, вряд ли. Я попробовал запихать его в Wolfram Mathematica, получил решение на 10 экранов.