переопределенные и недоопр системы линейных уравнений

[_3op9l]

Добрый вечер.
Речь идёт о переопределенных и недоопределённых системах линейных уравнений.

У меня ситуация такая: $A$ -- матрица $m*n, m>n$
и $rank(A)<n$.

Из бесконечного числа решений я могу выбрать с наименьшее по норме. Но...

Существует ли какой-нибудь другой, нестандартный подход к этой проблеме?






далее ересь : )

Элементы матрицы мне нужны только с опред. точностью. Может быть, можно поварьировать матрицу,
не нарушая точности и при этом достигая $rank=n$. Например, добавляя матрицу $\Delta$
со случайными малыми значениями.

Набрать презентативную статистику и как-нибудь показать, что та $\tilde{A}=A+\Delta$, которая
меньше всего $( min(sum(\Delta)) ) $ отклоняется от $A$ и имеет достаточный ранг, -- лучшая.

Модель, заложенную в матрице, мы не портим, потому что точность не портится.

[provincialka]

То есть "правильная" матрица давала множество решений, пространство размерностью $m-\operatorname{rank}(A)$. А вы, изменяя ее в пределах погрешности, получаете пространство решений меньшей размерности, $m-n$. И при этом качество модели не нарушается?!

Если это и возможно, это говорит о неустойчивости постановки, т.е. о том, что доступная точность данных не дает возможность надежно описать неизвестные.

-- 05.12.2013, 22:55 --

Кстати, теперь у вас даже и задача потерялась, чего решаете-то? Матрица к чему относится?

[provincialka]

_3op9l в сообщении #796701 писал(а):

Существует ли какой-нибудь другой, нестандартный подход к этой проблеме?

Прежде чем говорить о подходе к проблеме, надо сформулировать саму проблему. По-возможности четко.

[Евгений Машеров]

Присоединяюсь к просьбе описать задачу конкретнее.
Что до метода - поварьировать матрицу и повысить ранг - не то, что это невозможно. Практически любое изменение матрицы сделает её ранг максимальным, равным $\min(m,n)$
А толку-то?
При обращении такой "правленной" матрицы ошибки вылезут в полный рост. Это не убирание проблемы, а заметание мусора под ковёр.

[_3op9l]

Можно увеличить разрядность и высчитывать элементы матрицы хоть до 22 знака. Тогда, наверно,
недостаточность ранга пропадет. Пойду попробую.


Хотя, наверное, там меньшие элементы в $S$ будут неприлично маленького порядка. (Имею
в виду сингулярное разложение $A=U*S*V'$) Что, наверно, показывает, что нельзя на этом
наборе данных определить все параметры модели, как писала provincialka.

Спасибо Вам обоим большое-большое за помощь! Буду улучшать модель или дождусь большего объема экспер.данных )

[Евгений Машеров]

Ну, это замечательно, что Вы сингулярным разложением владеете. А теперь давайте посмотрим, как у нас с ним, скажем, решение систем уравнений $Ax=b$
$Ax=USV^T=b$
Поскольку U и V ортогональны, домножаем на транспонирование и...
$x=VS^{-1}U^Tb$
И обнаруживается, что у нас получается, что надо обращать диагональную матрицу S. Диагональные обращать не просто, а очень просто. Диагональные элементы заменяются на обратные к ним. Готово!
Но вот если исходная матрица была неполного ранга, некоторые диагональные равны нулю. А когда матрицу А возмутили - возмутились на величину такого же порядка, как возмущение, и элементы S. Стали ненулевыми, и теперь можно обращать, да. Но вот возмущение у нас малое, матрица $\tilde{A}$ от матрицы А отличается весьма слабо, однако обратные к самым малым элементам S стали самыми большими. То есть ответ стал определяться в основном вот этими самыми произвольно нами изменёнными элементами S (ну, или возмущениями A, тоже произвольными). Иначе говоря, формально ответ есть, благо "ранг полный", а смысл его успел убежать.