Линейно независимая система

[Ward]

Здравствуйте!

Будет ли система $\{1, \sin x, \sin^2x, \dots, \sin^mx\}$ линейно зависимой?

Моя попытка решения: Рассмотрим их линейную комбинацию $\lambda_0+\lambda_1\sin x+\dots +\lambda_m\sin^m x=0$
Возьмем производную от нее и получим: $\lambda_1\cos x+2\lambda_2\sin x\cos x+\dots +m\lambda_m\sin^{m-1} x\cos x=0$
При $x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k\right)$ у нас $\cos x\neq 0$ сокращаем на косинус и дальше беря производные получаем, что $\lambda_m=0$. Пусть она линейно зависима, тогда есть нетривиальный набор $(\lambda_0, \lambda_1,\dots, \lambda_k)$, где $\lambda_k\neq 0$. Но тогда с другой стороны $\lambda_k=0$. Получаем противоречие.
А как быть со случаем когда $\cos x=0$?

[ewert]

Ward в сообщении #796659 писал(а):

А как быть со случаем когда $\cos x=0$?

Никак. При чём тут конкретные иксы? Тождество (в случае линейной зависимости) должно выполняться для всех иксов.

[Ward]

ewert
Как это?
Честно говоря, вообще не понял Вас.

[patzer2097]

Ward в сообщении #796659 писал(а):

Будет ли система $\{1, \sin x, \sin^2x, \dots, \sin^mx\}$ линейно зависимой?

А вообще, система $\{1,f(x),\ldots,\left(f(x)\right)^m\}$ линейно независима тогда и только тогда, когда функция $f$ принимает не менее $m+1$ различных значений. Это легко с помощью матрицы Вандермонда доказать

[Ward]

patzer2097
Где это доказательство можно найти?

[patzer2097]

Ward в сообщении #796685 писал(а):

patzer2097
Где это доказательство можно найти?

ну это стандартный результат линейной алгебры, что матрица $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, заданная как $a_{ij}=x_i^{j-1}$, имеет нулевой определитель если и только если какие-то два из чисел $x_1,\ldots,x_n$ совпадают. А доказательство тут http://ru.wikipedia.org/wiki/Определитель_Вандермонда, например

(Оффтоп)

Что-то не работает тег \url

[Otta]

Ward в сообщении #796679 писал(а):

Как это?

По определению.
При нулевом наборе равенство выполняется для всех $x$, это очевидно. Если есть ненулевой с теми же свойствами - функции линейно зависимы. Иначе - линейно независимы. Набор подбирается один для всех $x$, поэтому вопрос, как его выбрать для какого-то конкретного, бессмыслен.

Ward в сообщении #796659 писал(а):

$\lambda_1\cos x+2\lambda_2\sin x\cos x+\dots +m\lambda_m\sin^{m-1} x\cos x=0$

В этом месте не надо говорить про "если косинус не равен нулю - разделим на косинус", а продолжать искать коэффициенты в тождестве. Например, вынести косинус за скобку и думать: ага, поскольку косинус нулю тождественно не равен, то ...

Но я бы лучше здесь сразу коэффициенты искала.

Ward в сообщении #796659 писал(а):

$\lambda_0+\lambda_1\sin x+\dots +\lambda_m\sin^m x=0$

Причем, что важно - для всех $x$.
Значит, в частности оно же, с тем же набором коэффициентов выполнено и при $x=0$. Отсюда находим $\lambda_0=0$. Ну, а дальше можно и подифференцировать, на каждом этапе находя по коэффициенту.

[Ward]

Еще вроде с линейной независимостьюсвязывают определитель Вронского (вронскиан).

[Aritaborian]

Для данного случая вронскиан в явном виде фиг посчитаешь, но можно, наверное, попробовать по индукции.

[svv]

Возможность или невозможность составить линейную комбинацию
$\sum\limits_{k=0}^n\lambda_k \sin^k x=0$
не изменится, если сделать замену $\sin x=t$:
$\sum\limits_{k=0}^n\lambda_k t^k=0$
А линейная независимость системы функций $(t^k)_{k=0}^n$ очевидна.