Алгебра. T_x = MxR.

[пианист]

Дано: гладкое многообразие $X$, кольцо гладких функций на нем $A$, модуль векторных полей $M$ на $X$ над $A$. Множество действительных чисел $R$ рассматриваем также как модуль над $A$, вводя умножение $f\alpha \doteq f(x)\alpha$.
Утверждается, что $M \bigotimes\limits_A R \simeq T_x$ ($T_x$ касательное пространство к $X$ в точке $x$). Вопрос, почему так. Приведено без всяких пояснений, видимо, что-то очень простое, но я никак не соображу.
Понятно, что за счет второго сомножителя можно "вытаскивать" из $M$ любые функции, лишь бы они равнялись $1$ в точке $x$, но так можно "исправить" только модуль вектора, а не направление, кроме того, никак не сделаешь ненулевое значение из нулевого..

[apriv]

пианист в сообщении #796312 писал(а):

Утверждается, что $M \bigotimes\limits_A R \simeq T_x$ ($T_x$ касательное пространство к $X$ в точке $x$). Вопрос, почему так.

Воспринимайте это геометрически: касательное пространство в точке — это пулбэк касательного расслоения вдоль этой точки.

[g______d]

пианист в [url=http://dxdy.ru/post796312.html#p796312] писал(а):

Понятно, что за счет второго сомножителя можно "вытаскивать" из $M$ любые функции, лишь бы они равнялись $1$ в точке $x$, но так можно "исправить" только модуль вектора

Если функция равна 1 в точке $x$, то модуль вектора в этой точке не должен измениться от "вытаскивания".

Можно воспринимать эту конструкцию алгебраически следующим образом. Есть кольцо функций $A$ и (максимальный) идеал $\mu_x$, состоящий из функций, обращающихся в нуль в точке $x$. При этом $A/\mu_x\cong\mathbb R$, причем стандартная структура $A$-модуля на этом факторкольце получается так, как Вы сказали. $\mu_x M$ — подмодуль, состоящий из полей, обращающихся в нуль в $x$. Тогда касательное пространство — это фактормодуль $M/(\mu_x M)\cong (A/\mu_x) \otimes_A M\cong \mathbb R\otimes_A M$.

[пианист]

Спасибо за помощь!
apriv
К сожалению, не понял. Пулбэк - речь о чем-то, относящемся к алгебраической топологии?
g______d

Цитата:

$M/(\mu_x M)\cong (A/\mu_x) \otimes_A M$.

Видимо, в этом равенстве и заключена вся суть, и я ее так и не уловил :(.
Помню, решал такую задачку из книжечки Атии и Макдональда, но там решение опиралось на какой-то промежуточный результат, и все в целом было непрозрачным.
Странно, что Шафаревич приводит это как что-то совершенно очевидное.

[g______d]

Есть версия, что это равенство не обязательно верно, но верно для плоских модулей; модуль векторных полей таким является, т. к. он проективен, а проективные модули автоматически плоские. Как-то много определений для такого факта, наверное, можно проще...

[apriv]

пианист в сообщении #796661 писал(а):

Пулбэк - речь о чем-то, относящемся к алгебраической топологии?

Пулбэк — это расслоенное произведение. В данном случае это пулбэк точки, то есть, просто ее прообраз: слой касательного расслоения над данной точкой. Расслоенному произведению на многообразиях соответствует тензорное произведение на функциях, поэтому все действительно очевидно.

-- 05.12.2013, 23:28 --

g______d в сообщении #796740 писал(а):

Есть версия, что это равенство не обязательно верно, но верно для плоских модулей;

Модули $M/IM$ и $M\otimes_R(R/I)$ всегда канонически изоморфны, поскольку функтор $M\otimes -$ точен справа; плоскость тут ни при чем совершенно.

[пианист]

Кажется, нашел понятное для себя объяснение!
Что вывод через равенство
$M/(\mu_x M) = (A/\mu_x) \otimes\limits_A M$
годный, помогает понять книжечка Атии, Макдональда, только там это получается в четыре шага. Каждый шаг, да, вполне простой и очевидный, но вот вместе.. как-то уже наглядность теряется.
Категорным языком я, увы, не владею. Хотя, разбираясь, что есть такое пулбэк, встретил много умных и красиво звучащих слов :)
Так что пришлось додумывать самому. На самом деле, вполне можно собственное рассуждение довести до вот такого утверждения (в обозначениях исходного поста).
Утверждение. Если два векторных поля $\tau_1$ и $\tau_2$ из $M$ совпадают в окрестности $U$ точки $x$, то
$\tau_1 \otimes\limits_A \alpha = \tau_2 \otimes\limits_A \alpha$.
Доказательство: возьмем функцию $\varphi$ из $A$ такую, что 1) $\varphi = 0$ вне $U$, 2) $\varphi(x) = 1$. Тогда
$\tau_1 \otimes\limits_A \alpha = \tau_1 \otimes\limits_A (\alpha \varphi) = (\tau_1 \varphi) \otimes\limits_A \alpha$.
Аналогично
$\tau_2 \otimes\limits_A \alpha = (\tau_2 \varphi) \otimes\limits_A \alpha$.
Ну а поля $\tau_1 \varphi$ и $\tau_2 \varphi$ совпадают по построению функции $\varphi$.
Таком способом проясняется механика этой, что ли сказать, локализации: все дело в способе определения $R$ как модуля над $A$.