Функция,принимающая все действительные значения 2 раза

[MestnyBomzh]

Здравствуйте! Скажите, верны ли мои рассуждения?Можно ли "подкрепить" моё доказательство какими-либо теоремами,чтобы не объяснять все очевидные вещи?Заранее спасибо!
Пусть существует функция, принимающая все действительные значения ровно два раза. Тогда эта функция два раза обращается в ноль, положим $f(a)=0$ и $f(b)=0$. Для определенности пусть $a<b$.Очевидно, что на интервале $(a;b)$ функция либо положительна, либо отрицательна(иначе бы появился ещё один ноль) ,тогда функция имеет максимум на $(a;b)$ или минимум(если она отрицательна на этом интервале).Будем обозначать $y_\max$ максимальное значение на интервале $(a;b)$.Cразу скажем,что для $y_\max$ нет подходящей точки в интервале $(a;b)$,так как иначе бы некоторые значения принимались более двух раз на этом же интервале. Также можно утверждать, что на этом интервале функция принимает все действительные значения в промежутке $[0;y_{\max})$ ровно два раза(если более двух-не подходит, менее двух не может, так как на краях отрезка $[a;b]$ она обращается в ноль, а также на $[a;b]$ она имеет максимум, то есть, ограничена сверху). Также, если существует точка с такой же ординатой($y_\max$),то она должна быть больше нуля, так как и $y_\max>0$. Учитывая то, что функция непрерывна, то $\exists \varepsilon>0:f(a-\varepsilon)<f(y_{\max})$(Здесь $\varepsilon$ очень маленькое число) . Пусть $f(a-\varepsilon)>0$ - в таком случае, это не будет удовлетворять условию задачи(некоторые значения будут приниматься более двух раз)=> $f(a-\varepsilon)<0$Тогда и все значения функции в интервале $(-\infty;a)$ отрицательны(так как если они положительны, а $f(a-\varepsilon)<0$ то появился бы третий ноль). Аналогичным способом доказываем то, что все значения функции в интервале $(b;+\infty)$ отрицательны. Значит для значения $y_\max$ нет подходящей точки, что и требовалось доказать. По аналогии доказываем случай, если функция на интервале $(a;b)$ отрицательна.

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):

принимающая все действительные значения ровно два раза.

В смысле каждое вещественное значение?

А ваша функция непрерывная? Вы используете какие-то такие свойства (существование экстремума, например), но о непрерывности в условии не говорите.

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #796333 писал(а):

А ваша функция непрерывная

Да,кончено,это я упомянуть забыл...изначально функция непрерывна,конечно же

[MestnyBomzh]

provincialka в сообщении #796333 писал(а):

А ваша функция непрерывная? Вы используете какие-то такие свойства

А если добавить, что функция непрерывна,то доказательство верное?

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):

Скажите, верны ли мои рассуждения?Можно ли "подкрепить" моё доказательство какими-либо теоремами,чтобы не объяснять все очевидные вещи?Заранее спасибо!

Ну можно чуть проще: пусть $f$ такая функция. Пусть $f(a)=f(b)=0, a<b$, пусть функция положительна на интервале $(a,b)$ (отрицательный случай аналогичен).
Тогда для любого $0<\varepsilon<f(c)$ существуют точки $x\in(a,c)$ и $y\in(c,b)$, такие, что $f(x)=f(y)=\varepsilon$ — потому что непрерывная функция на отрезке принимает все промежуточные значения.
А значит, всюду вне интервала $(a,b)$ функция знакоопределена. Ну и всё.

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):

Также, если существует точка с такой же ординатой($y_\max$),то она должна быть больше нуля,

Кто должен быть больше нуля? Точка? Или ордината? Видимо второе.

Честно скажу, с момента появления $\varepsilon$ у меня мозги свернулись. Ниасилила. Может, все можно попроще сделать?

А вот, вижу, вам уже предложили ответ.

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #796328 писал(а):

Cразу скажем,что для $y_\max$ нет подходящей точки в интервале $(a;b)$,так как иначе бы некоторые значения принимались более двух раз на этом же интервале.

Я не очень это понял.

[provincialka]

Ну, имеется в виду, что $y_{\max}$ не может приниматься дважды внутри интервала, так как между этими двумя точками (например, $c,d$) некоторые значения повторялись бы более двух раз: между $a$ и $c$, между $c$ и $d$, между $d$ и $b$. Только я не поняла, автор считает это очевидным, или дальнейший текст содержит доказательство этого факта?
MestnyBomzh, вы бы как-то разбивали доказательство на абзацы, что ли.

[Nemiroff]

provincialka в сообщении #796373 писал(а):

Ну, имеется в виду, что $y_{\max}$ не может приниматься дважды внутри интервала, так как между этими двумя точками (например, $c,d$) некоторые значения повторялись бы более двух раз: между $a$ и $c$, между $c$ и $d$, между $d$ и $b$. Только я не поняла, автор считает это очевидным, или дальнейший текст содержит доказательство этого факта?

Это неверно, насколько я могу представить.
Не так сложно построить пример функции, непрерывной на отрезке, которая каждое своё значение принимает два раза промахиваюсь мимо клавиатуры — чётное число раз. Каждое значение — чётное число раз. А максимум — два раза.

[MestnyBomzh]

Я имел в виду,что если $y_\max$ будет приниматься на $(a;b)$ 2 раза,то другие значения, которые "ниже" максимума будут приниматься более двух раз,а это не удовлетворяет условию

[provincialka]

Четным - да, может. Но автор же говорит о ровно двух. В случае равных максимумов получается "двугорбый верблюд", и около вершин горбов уравнение $f(x)=h$ имеет 4 корня. Лишнего.
Впрочем, я только попыталась "перевести" мысль автора. Доказывать ее - его забота.

[Nemiroff]

А-а-а. Понял. Тогда, наверное, правильно, но как-то я с трудом смог прочесть первый пост. Там идея-то простая.

[MestnyBomzh]

У меня преподаватель придирчивый:-)

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #796384 писал(а):

У меня преподаватель придирчивый:-)

Ну то есть, я бы остановился на том, что на отрезке есть максимум, значения между нулем и максимумом принимаются на отрезке дважды, а значит вне отрезка функция по крайней мере одного знака. А на отрезке значения ограничены.

А зачем вам это: 2 раза, 3 раза? Проще же каждое значение 1 раз.

[_Ivana]

Если под непрерывностью понимать непрерывность на области определения, то две ветки обычного тангенса могут быть контрпримером, имхо.