Метод решения задач на делимость

[NNDeaz]

Привет, рылся в старых записях, нашел решение одной задачи на делимость при помощи комплексных чисел. К сожалению записано не в полном объеме. Помогите разобраться. Задача такова:
$n,k,m \in \mathbb{N}$, доказать, что ${x}^{3k}+{x}^{3n+1}+{x}^{3m+2} \vdots {x}^{2}+x+1$


$\[a \vdots b \Leftrightarrow a - b \vdots b\]$

${x}^{3k}+{x}^{3n+1}+{x}^{3m+2} - {x}^{2}-x-1= ({x}^{3} - 1)(...) + x({x}^{3} - 1)(...) + x^2(x^3- 1) \vdots {x^2} + x + 1$
Многочлен делится на многочлен когда есть общий корень
Пусть $\[\varepsilon :{\varepsilon ^2} + \varepsilon + 1 = 0 \Rightarrow {\varepsilon ^3} = 1\]$
${\varepsilon ^{3k}} + {\varepsilon ^{3n + 1}} + {\varepsilon ^{3n + 2}} = 1 + \varepsilon + {\varepsilon ^2} = 0$ и значит верно доказуемое.

Можете пояснить, правильно ли такое решение? где можно больше узнать про решение задач на делимость таким способом?

[ИСН]

да не надо тут никаких комплексных чисел.
разве Вы без них не знаете, что $x^3-1$ делится на $x^2+x+1$?

[NNDeaz]

ну ведь в комплексных числах любой многочлен имеет корни. можно ли таким образом решать похожее задание?

[iifat]

NNDeaz в сообщении #796279 писал(а):

Многочлен делится на многочлен когда есть общий корень

Да можно, чего уж там. В данном случае не лучший метод, но это не делает его неправильным.
Только не общий корень, а все корни делителя являются корнями делимого, притом не меньшей кратности.