Уравнение в натуральных числах

[function]

Существует ли хотя бы одно четное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию:

$$2^{n}-n^{2}=2n?$$

[ИСН]

Перенесите $n^2$ вправо, разложите на множители.

[function]

ИСН в сообщении #796201 писал(а):

Перенесите $n^2$ вправо, разложите на множители.

И чего вы этим добьетесь?

[Sonic86]

Можно решить уравнение в $\mathbb{R}$.

[function]

Sonic86 в сообщении #796213 писал(а):

Можно решить уравнение в $\mathbb{R}$.

Можно конечно и в $\mathbb{C}$. А в этом случае (т. е. в четных натуральных) что у вас получилось?

[ИСН]

function в сообщении #796208 писал(а):

И чего вы этим добьетесь?

Не я, а Вы.

-- менее минуты назад --

А по существу - ну, на какие простые тогда может делиться левая часть? а значит, и правая? а значит, и каждый из её сомножителей?
вот.

[nnosipov]

Старенькая задачка с Турнира городов "Решить в натуральных числах уравнение $y^k=x^2+x$ ($k>1$)" покрывает задачу ТС как Красноярский край Швейцарию.

[function]

Можно ещё, например, преобразовать уравнение к виду $2^n +1=(n+1)^2$ и заметить, что при четном $n$ левая часть сравнима с 2 по модулю 3, но квадрат натурального числа не может при делении на 3 давать остаток 2, т. е. в левой и правой части возникают разные остатки при одном и том же модуле, поэтому и таких $n$ не существует.

[DjD USB]

function в сообщении #796208 писал(а):

ИСН в сообщении #796201 писал(а):

Перенесите $n^2$ вправо, разложите на множители.

И чего вы этим добьетесь?

Вот чего:
$2^n=n(n+2)$ Заметим, что НОД(n;n+2)=1 или 2. Ну вот отсюда и пляшем...

[function]

DjD USB в сообщении #796297 писал(а):

function в сообщении #796208 писал(а):

ИСН в сообщении #796201 писал(а):

Перенесите $n^2$ вправо, разложите на множители.

И чего вы этим добьетесь?

Вот чего:
$2^n=n(n+2)$ Заметим, что НОД(n;n+2)=1 или 2. Ну вот отсюда и пляшем...

Действительно .

[Sonic86]

function в сообщении #796230 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Можно решить уравнение в $\mathbb{R}$.

Можно конечно и в $\mathbb{C}$. А в этом случае (т. е. в четных натуральных) что у вас получилось?

Это уравнение от одной переменной, имеющее в $\mathbb{R}$, очевидно, конечное число корней. Просто график построить и все. Т.е. уравнение это решать неинтересно совсем.

[function]

Sonic86 в сообщении #796497 писал(а):

function в сообщении #796230 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Можно решить уравнение в $\mathbb{R}$.

Можно конечно и в $\mathbb{C}$. А в этом случае (т. е. в четных натуральных) что у вас получилось?

Это уравнение от одной переменной, имеющее в $\mathbb{R}$, очевидно, конечное число корней. Просто график построить и все. Т.е. уравнение это решать неинтересно совсем.

(Оффтоп)

Графический способ -- это от отчаяния. У меня просто нету слов от эдакого гениального решения!

Вкусность задачи как раз-таки и заключается в том, чтобы избежать неаккуратных решений, вроде построения графиков.

[nnosipov]

function в сообщении #796569 писал(а):

Вкусность задачи как раз-таки и заключается в том, чтобы избежать неаккуратных решений, вроде построения графиков.

В данном случае это как раз аккуратное и, что самое главное, адекватное решение Вашей задачи. Вот если бы речь шла о более сложном уравнении $2^m=n^2+2n$, тогда графики были бы бесполезны и пришлось бы использовать соображения, связанные с делимостью (т.е. задача действительно была бы теоретико-числовой). А для решения уравнения $2^n=n^2+2n$ достаточно банального наблюдения: при больших $n$ левая часть просто становится больше правой. Осталось только указать эту границу для $n$. Здесь действительно можно взглянуть на графики, увидеть эту границу, а потом формально её обосновать (например, по индукции). Ровно это и имел в виду Sonic86, а Вы его не поняли.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #796266 писал(а):

Решить в натуральных числах уравнение $y^k=x^2+x$ ($k>1$)

Это простое?:
$y^k=x(x+1)$, $x,x+1$ взаимно просты, тогда по лемме: $c^k=ab, a\perp b\Rightarrow a=u^k, v=b^k$ получаем $x=u^k +1=v^k$, т.е. $1=v^k-u^k$, откуда $v=1,u=0$ и тогда все-таки $x=0$, т.е. решений в $\mathbb{N}$ нет.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #796632 писал(а):

Это простое?:
$y^k=x(x+1)$, $x,x+1$ взаимно просты, тогда по лемме: $c^k=ab, a\perp b\Rightarrow a=u^k, v=b^k$ получаем $x=u^k +1=v^k$, т.е. $1=v^k-u^k$, откуда $v=1,u=0$ и тогда все-таки $x=0$, т.е. решений в $\mathbb{N}$ нет.

Да, ровно это и имелось в виду. Эта задача была, кажется, в 1982 году. И, наверное, решить надо было не в натуральных, а в целых числах (чтобы ответ был не пустым).