Гармоническая функция

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. У меня возникла необходимость из двух произвольных, но бесконечно число раз дифференциируемых, функций двух переменных составить гармоническую функцию (лапласиан которой равен нулю). Помогите подобрать соответствующую комбинацию

[Vince Diesel]

Что значит "составить", какие операции дозволяются? К тому же гармоническая функция аналитическая, а бесконечно дифференцируемые могут и не быть аналитическими. Или это учебная задача для двух конкретных функций?

[volchenok]

ну мне нужно подобрать функцию, которая бы зависела от этих двух функций, причем лапласиан этой новой функции равнялся бы нулю. дозволяются любые операции. сами эти две функции неизвестные. но они аналитические.

[svv]

$0f_1(x,y)+0f_2(x,y)$
Плюс любая гармоническая функция от $x$ и $y$, например, тождественно нулевая.
Если не нравится такой вариант, уточняйте задачу.

[volchenok]

Да извините. Видимо из-за того что я уже достаточно долго вожусь с этой задачей и мне она кажется очевидной я написал ее постановку очень размыто. В общем есть у меня СОДУ относительно двух неизвестных скалярных функций второго порядка. Сами эти функции-потенциалы электрического и магнитного полей, но это не важно. Мне нужно от это системы перейти к системе с одной неизвестной функцией комплексного переменного. Поскольку эти две функции вещественнозначные то логично предположить что их комбинация должна входить в вещественную часть функции комплексного переменного, а мнимую с точностью до константы по вещественной части я уже знаю как восстановить. Далее. Чтобы выполнялись условия Коши-Римана для этой функции комплексного переменного необходимо чтобы ее вещественная часть была гармонической. Теперь остается подобрать саму комбинацию, чтоб она была гармонической. Далее я бы по вещественной части восстановил бы мнимую и все.

[Vince Diesel]

Лучше бы писать с формулами и пояснениями. Хотя бы общий вид системы, типа $E''=\ldots$, $H''=\ldots$. А то потенциалы зависят(?) от трех пространственных переменных и времени. Решения ОДУ зависят от одной переменной. А для условий Коши-Римана надо функции двух переменных. Так что куда подставлять? Просто комплекснозначное уравнение можно получить, например, так: $E''+iH''=\ldots$

[svv]

Присоединяюсь к просьбе Vince Diesel написать уравнения. Мне очень интересно, какие Вы потенциалы используете, какие компоненты полей считаете ненулевыми и т.д.

[volchenok]

Потенциалы Герца представляют собой скалярные функции двух переменных. Зависимость от времени учитывается в коэффициентах при них, а зависимость от времени считается гармонической. По поводу системы, я просто боюсь меня модеры будут бить, я не умею здесь латехом выражаться.

[svv]

Во-первых, потенциалы Герца — векторные. Их даже часто называют «векторы Герца». Хотя можно рассматривать вариант, когда только одна компонента каждого потенциала ненулевая (например, $\Pi^e_z$ и $\Pi^m_z$).
Во-вторых, если зависимость от времени гармоническая, то потенциалы становятся комплексными, а не вещественными.
Так что вопросы к Вам есть и без системы никак.
$\TeX$ Вы моментально освоите и Вам очень понравится набирать формулы.

[volchenok]

я эти потенциалы по-другому ввожу, как скалярные функции. Но суть не в этом. Вопрос то звучит так: есть произвольные две функции (дифференциируемые и аналитические). Требуется подобрать такое выражение, зависящее обязательно от этих двух функций, чтобы лапласиан равнялся нулю. Написанное выражение выше подошло бы, если б в него входили сами функции.

[svv]

$f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n z^n$,
где $c_n=a_n+i b_n$, $z=x+iy$.

$f(z)$ — аналитическая функция комплексной переменной $z$, стало быть, её вещественная и мнимая части — гармонические функции переменных $x, y$. Так что я Вам сразу две функции построил.

Вам остается только связать коэффициенты $a_n$ и $b_n$ с Вашими функциями любым способом (лишь бы ряд сходился).

Зря Вы все-таки ставите задачу в такой общей и нечеткой постановке. Потенциалы хоть какими-то свойствами обладают, которые могли бы облегчить такое построение (удовлетворяют уравнениям Гельмгольца). И класс допустимых выражений неплохо было бы уточнить.

Ну и по отношению к Вашим уравнениям у меня просто было личное любопытство.

[volchenok]

Сама система представляет собой обычную давно известную систему телеграфных уравнений. в электродинамике это стандартная система имеющая уже конкретный вид. в отсутствии навыков программирования в латехе я не могу ее привести, но она есть в любом справочнике да и в интернете в той же википедии ее не трудно найти. потенциалы да, удовлетворяют уравнениям гельмгольца. ну а идея с рядом достаточно интересна. спасибо. только непонятно как его связать с теми же потенциалами