Бесконечный радикал с непостоянными коэффициентами

[sopor]

Доказать, что $\sqrt[3] {23 + \sqrt[ 3] {54 + \sqrt[ 3] {972 + \sqrt[ 3] {21870 + \sqrt[3] {551124 + \sqrt[3] {14526054+...}}}}}}=3$

[nnosipov]

sopor в сообщении #795406 писал(а):

Доказать, что $\sqrt[3] {23 + \sqrt[ 3] {54 + \sqrt[ 3] {972 + \sqrt[ 3] {21870 + \sqrt[3] {551124 + \sqrt[3] {14526054+...}}}}}}=3$

Это невозможно доказать в принципе, пока Вы не скажете, что скрывает многоточие.

[sopor]

Да, извините, я забыл. Общий член равен (за исключением $23$) $ 3^{2n+1}(3^{n-1}+1)$

[Руст]

nnosipov в сообщении #795421 писал(а):

sopor в сообщении #795406 писал(а):

Доказать, что $\sqrt[3] {23 + \sqrt[ 3] {54 + \sqrt[ 3] {972 + \sqrt[ 3] {21870 + \sqrt[3] {551124 + \sqrt[3] {14526054+...}}}}}}=3$

Это невозможно доказать в принципе, пока Вы не скажете, что скрывает многоточие.

Проще избавиться от 23.
Общий член $3^{3n}+3*3^{2n}=(3^n+1)^3-3^{n+1}-1$. Отсюда все получается, если n+1 член $3^{n+2}+1-\epsilon_{n+1}<x_{n+1}\le 3^{n+2}+1$,
то $\epsilon_n<\frac{\epsilon_{n+1}}{3^{n+2}+3}$.

[sopor]

Да, всё верно.
Аналогом этого радикала для квадратных корней будет тождество
$\sqrt {1 + \sqrt {4 + \sqrt {4^2 + \sqrt {4^3 + \sqrt {4^4 + ...}}}}} = 2$.
И в связи с этим интересны вопросы (на которые я пока не знаю ответа):
1. Существуют ли ещё целые/рациональные параметры $a$, при которых которых радикал $\sqrt {1 + \sqrt {a + \sqrt {a^2 + \sqrt {a^3 + \sqrt {a^4 + ...}}}}} = b$, где $b \in \mathbb Q$
2. Существует ли общее упрощение радикала такого вида?