Логарифм нормальной величины

[undeddy]

Добрый день,

Можно ли вывести явную формулу для мат.ожидания и дисперсии логарифма нормальной величины при известных параметрах распределения самой величины?

[Евгений Машеров]

А они существуют?

[undeddy]

Прошу прощения. Нашло затмение.

[--mS--]

А как, простите за тупой вопрос, Вы хотите вычислять логарифм величины, принимающей в том числе и отрицательные значения?

[Deggial]

Дублирующиеся темы объединил (потому пост --mS-- получился последний), дубль стартового поста удалил. undeddy, замечание за дублирование темы.

[Евгений Машеров]

На этот вопрос можно дать два ответа.
Первый строгий, краткий и неутешительный.
Поскольку нормально распределённая величина принимает отрицательные значения с ненулевой вероятностью, логарифм от неё считать, тем более интересоваться его распределением бессмысленно.
Второй нестрогий, но, возможно, полезный.
Состоит он в том, что в практических задачах закон распределения мы обычно выбираем сами, исходя из доступных данных. И нормальное распределение лишь "препарат выбора", хотя и популярный. Вот если у нас была величина, которую мы принимали нормально распределённой (мономодальна, хвосты быстро спадают, правило трёх сигм работает, и вообще гистограмма как колокол, только выщербленный), и описывали матожиданием и дисперсией, параметрами, для нормального распределения исчерпывающими, а потом вдруг обнаружилось, что нам-то нужен логарифм, которого у нормального распределения быть не может - то нужно брать другое распределение. Пожалуй, простейшим для данного случая будет логарифмически нормальное распределение. Другие распределения существенно положительных величин либо имеют больше параметров (гамма-распределение), и оценить их, зная только матожидание и дисперсию, невозможно, либо слишком мало (экспоненциальное), хотя в последнем случае можно добавить, например, сдвиг, либо непохожи на нормальное.
Разумеется, выбор по критерию простоты это от лени и ограниченности вычислительных средств, а также от отчаяния из-за недостатка информации. Будь у нас доступна вся выборка исследуемой величины - мы бы могли подобрать лучшее распределение по известным критериям согласия. Ну и любая априорная информация об исследуемой величине пригодилась бы.
Но если нет ничего, кроме матожидания и дисперсии исходной величины - попробуем приблизить логнормальным. Видимо, единственный способ оценить его параметры - метод моментов.
Известно, что для логнормального распределения с параметрами $\mu, \sigma^2$ матожидание равно $M=e^{\mu+\sigma^2/2}$, а дисперсия $D^2=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$
Приравняв эти величины наблюдаемым по выборке, получим оценки для параметров логнормального распределения.
$\sigma^2=\ln(1+\frac {D^2}{M^2})$ и $\mu=\ln M - \sigma^2/2$
Собственно, это и будут искомые характеристики логарифма наблюдаемой величины.
Подход, повторю, не вполне строг в том смысле, что вид распределения мы выбрали волевым решением, и желательно его дополнительно обосновать, или хотя бы не забывать о возможности ошибки этого выбора. Кроме того,

(Оффтоп)

(с меня фуражка прапорщика Ясненько не слетает?)

это не "распределение логарифма нормально распределённой величины", а "распределение логарифма величины, которую ранее приближали нормальной, а потом поняли, что она неотрицательна".

[--mS--]

Увы, всё наоборот. Логнормальное распределение - это не распределение логарифма примерно нормальной величины, а распределение величины, логарифм которой нормален. Чисто нормален, безо всяких приближений. А между логарифмом и экспонентой разница, как бы, существенная, нет?

[Евгений Машеров]

Вы не поняли. Я сам раньше вроде упомянул, что распределение логарифма нормально распределённой величины вещь бессмысленная.
И поэтому то, о чём я говорю, не есть искомое автором поста "распределение логарифма нормальной величины", а другое.
Утверждать, что логнормальное есть "распределение логарифма нормальной величины" я не могу - не до такой степени я заработался;)
Я говорю о том, что вместо невозможного "распределения логарифма нормальной величины" есть возможное приближение величиной, логарифм которой считать осмысленно, в частности, величиной, логарифм которой нормально распределён.

[--mS--]

Так я и говорю, что вместо "логарифма нормальной" Вы предлагаете рассматривать экспоненту от нормальной, что совсем противоположные вещи. Впрочем, ТС, кажется, всё равно.

[Евгений Машеров]

Безусловно, сейчас очередь выстрела у ТС. Который должен объяснить, что сие - прикладная задача, в которой вдруг возникла необходимость работать с величиной, которую прежде принимали нормально распределённой, или чисто абстрактный интерес. В любом случае логарифмировать нормально распределённую величину бессмысленно, но в первом случае имеет смысл поискать другое распределение, для которого логарифмирование осмыслено, причём оно должно достаточно хорошо соотноситься с исходными данными..