Интересное число

[Ktina]

а) Натуральное число $A$ называется интересным, если оно делится на любое число, которое остаётся после зачеркивания в $A$ нескольких последних цифр. Найти наибольшее интересное число, состоящее из попарно различных цифр.

б) (от Руст)
Можно рассмотреть в двух постановках.
1. В конце не более к нулей. В такой постановке то, что не будут сколь угодно большие решения само по себе не простая задача.
2. Каждая цифра встречается не более к раз.
Ответы будут разные даже при к=1.

[hippie]

а) Ответ: 3570.

б.1) Ответ: $90\dots090\dots0.$
(Число не может содержать более $2k+2$ цифр.)

[Ktina]

hippie в сообщении #794639 писал(а):

а) Ответ: 3570.

б.1) Ответ: $90\dots090\dots0.$
(Число не может содержать более $2k+2$ цифр.)

а) Верно! Очевидно, искомое число не может быть более, чем четырёхзначным, а первые две цифры обязаны образовывать число, меньшее 50 и кратное 5.
4590 не годится, так как 90 не делится на 4. Также не годится и 4080, так как НЕ все цифры различны. А вот 3570 подходит.

б. 1) Почему?

[Руст]

Ktina в сообщении #794729 писал(а):

hippie в сообщении #794639 писал(а):

а) Ответ: 3570.


б. 1) Почему?

Пусть интересное число А имеет в конце $m$ нулей и перед ними цифра с. Обозначим через $B=[\frac{A}{10^{m+1}}]$, получающийся после вычеркивания $m+1$ последних цифр.
Если В не равно нулю, то оно делитель числа $c*10^m$. Отсюда сразу получается, что решением 1 является $A=9*10^{2k+1}+9*10^k.$
Из этого представления можно перечислить все интересные числа исключая некоторые из $B=d*5^a*2^b, d|c, a\le m, b\le m$.
Тем не менее вторая задача сложна для всех к. При к=1 получаем, что цифра с нечетна, исключается с=9, с=7 означает, что В=70:2=35.
При к=2 из чисел $B=d*25, d$ годится только В=25, но максимальным является 45900. При к=3среди чисел $B=d*125$ так же годится только 125, что дает максимум 1259000.
Среди возможных чисел $d*5^k$ число 125 максимальное подходящее, а среди чисел $d*2^b$ имеются большие подходящие. Это дает при к=4 - А=12880000, к=5 25 А=2568000000.
к=6 А=2568000000, к=7 А=25680000000б
$k\ge 8, A=2569*10^k$.

[hippie]

2 Руст

Попробовал решать (б.2) для некоторых $k,$ и получил ответы, отличающиеся от Ваших:

$k=2:\quad 75600;$
$k=3:\quad 1257000$ (похоже, что в этом случае у Вас очепятка);
$k=4:\quad 14490000;$
$k=9:\quad 5120400000000$ (в конце только 8 нулей, девятый --- перед четвёркой!).

[Руст]

hippie в сообщении #795260 писал(а):

2 Руст

Попробовал решать (б.2) для некоторых $k,$ и получил ответы, отличающиеся от Ваших:

$k=2:\quad 75600;$
$k=3:\quad 1257000$ (похоже, что в этом случае у Вас очепятка);
$k=4:\quad 14490000;$
$k=9:\quad 5120400000000$ (в конце только 8 нулей, девятый --- перед четвёркой!).

Да, при к=2 упустил 75 при к=4 упустил 144 с окончанием 90000 (заброковал считая невозможным одновременно делимость и на 7 и на 3), при к=3 опечатка.
Неужто при к=9 имеется делимость на 17 от числа 51. Действительно я рано заброковал. Возможно и при других больших к возможны большие решения.

Для этого нужно рассматривать почти интересные числа, заканчивающиеся на не нулевую цифру. Такое число А назовем почти интересным, если для любого $m\le [lg A]$
число $\frac{A}{[10^{-m}A]}$ имеет только конечное число ненулевых цифр после запятой, т.е. является дробью со знаменателем $2^a*5^b$.
Высотой почти интересного числа А назовем $10^{-m}A$, где $m$ количество нулевых цифр числа А. Шириной этого числа назовем максимальное количество значащих цифр после запятой для выражений $\frac{A}{[10^{-l}A]}, l\le [lg A]$ плюс количество нулевых цифр. Тогда задача сводится к нахождению
высоких почти интересных чисел с шириной не больше к.
hippie нашел почти интересное число с высотой 5120.4. По видимому есть и более высокие числа.