Время перелета

[zircon63]

Космический корабль движется вокруг Солнца по той же круговой орбите, что и Земля ($\[{R_1} = \]1.5\cdot10^8$), причём настолько далеко от Земли, что ее влиянием можно пренебречь. Корабль получает в направлении своего движения дополнительную скорость $\[\Delta \]V$, достаточную для достижения орбиты Марса по траектории, касающейся орбиты Марса. Марс вращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса $\[{R_2}\]= 2,28\cdot10^8 км$. Определить время перелёта и величину $\[\Delta \]V$. Для Солнца $\[G{M_C}\]$ = 1325\cdot10^8км3/с2.

Решение:
Запишем закон сохранения энергии и момента импульса для корабля.
$\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m{V_1}^2}}{2} + \frac{{Gm{M_C}}}{{{R_1}}} = \frac{{m{V_2}^2}}{2} + \frac{{Gm{M_C}}}{{{R_2}}}\\m{V_1}{R_1} = m{V_2}{R_2}\end{array} \right.\\{V_2}^2 = \frac{{2G{M_C}{R_1}}}{{{R_2}({R_1} + {R_2})}}\\\Delta V = {V_2} - {V_1} = \sqrt {\frac{{2G{M_C}{R_1}}}{{{R_2}({R_1} + {R_2})}}} - \sqrt {\frac{{G{M_C}}}{{{R_1}}}} \end{array}\]$
подскажите как найти время перелета?

[nestoronij]

Если скорость - const, то можно найти перемещение и потом время.

[DimaM]

zircon63 в сообщении #794644 писал(а):

подскажите как найти время перелета?

Из третьего закона Кеплера.

-- 01.12.2013, 13:21 --

(Оффтоп)

nestoronij в сообщении #794716 писал(а):

Если скорость - const

:facepalm:

-- 01.12.2013, 13:24 --

zircon63 в сообщении #794644 писал(а):

Запишем закон сохранения энергии и момента импульса для корабля.

ЗСЭ, судя по всему, записан неправильно (гравитационная энергия отрицательна).
Кроме того, по смыслу, $V_1$ - это скорость на уровне орбиты Земли, $V_2$ - на уровне орбиты Марса. В таком случае $\Delta V$ - вовсе не их разница, а разница между $V_1$ и орбитальной скоростью Земли (которая равна $\sqrt{GM_C/R_1}$).

[Zai]

После отрыва КА от гравитационного поля Земли он сохраняет скорость Земли в окружном направлении. В радиальном напрвлении добавленная скорость будет уменьшаться из-за притяжения Солнца. В окружном направлении добавленная скорость должна быть равна разности окружных скоростей Земли и Марса, иначе КА уйдет по параболе от Марса. Пренебрегая компонентой скорости в радиальном направлении, делите длину касательной к окружности Земли до окружности Марса на разность окружных скоростей.

[DimaM]

Zai в сообщении #794811 писал(а):

После отрыва КА от гравитационного поля Земли он сохраняет скорость Земли в окружном направлении.

Нет конечно. Потому как момент импульса относительно Солнца сохраняется.

(Оффтоп)

Zai в сообщении #794811 писал(а):

В окружном направлении добавленная скорость должна быть равна разности окружных скоростей Земли и Марса, иначе КА уйдет по параболе от Марса. Пренебрегая компонентой скорости в радиальном направлении, делите длину касательной к окружности Земли до окружности Марса на разность окружных скоростей.

[Zai]

После отрыва КА от гравитационного поля Земли он сохраняет скорость Земли в окружном направлении относительно Солнца. Эту скорость необходимо изменить до скорости Марса в окружном направлении относительно Солнца. Эта измененная скорость и будет определять время перелета. Окружная компонента скорости относительно Солнца не может быть изменена гравитационным полем Солнца. Условие гравитационного захвата Марсом - равенство окружных скоростей КА и Марса.

[DimaM]

Zai в сообщении #794824 писал(а):

После отрыва КА от гравитационного поля Земли он сохраняет скорость Земли в окружном направлении относительно Солнца.

Это неверно. Зачем вы вводите людей в заблуждение?

Zai в сообщении #794824 писал(а):

Окружная компонента скорости относительно Солнца не может быть изменена гравитационным полем Солнца.

Это неверно. Зачем вы вводите людей в заблуждение? Сохраняется не окружная компонента скорости, а момент импульса относительно Солнца.

Zai в сообщении #794824 писал(а):

Условие гравитационного захвата Марсом - равенство окружных скоростей КА и Марса.

Возле Марса надо тормозить.

-- 01.12.2013, 14:35 --

Автору темы: попробуйте набрать в поисковике "гомановская траектория".

[Zai]

Согласен с Вами. Как автомобиль на подводящей магистрали вы притормаживаете чтобы пропустить крупногабаритную фуру.

[Munin]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #794825 писал(а):

Автору темы: попробуйте набрать в поисковике "гомановская траектория".

Для начала "законы Кеплера". Задача вообще может быть решена только из них. Вместо $GM_\odot$ можно использовать хорошо известное значение длительности земного года.

[zircon63]

$\[\begin{array}{l}\frac{{{\tau ^2}}}{{{T_z}^2}} = \frac{{{{({R_z} + {R_M})}^3}}}{{{R_z}^3}}\\\tau = {T_z}{(1 + \frac{{{R_M}}}{{{R_z}}})^{\frac{3}{2}}}\end{array}\]$
В ответе еще коэффициент $\[\frac{1}{{4\sqrt 2 }}\]$. Объясните в чем ошибка?

[Zai]

Третий закон Кеплера для периодов
$\frac{{{\tau ^2}}}{{{T_z}^2}} = \frac{{{{(({R_z} + {R_M})/2)}^3}}}{{{R_z}^3}}$

$\tau = \frac 1 {2\sqrt{2}}{T_z}{(1 + \frac{{{R_M}}}{{{R_z}}})^{\frac{3}{2}}}$
Движение осуществляется половину периода
$t = \frac 1 {4\sqrt{2}}{T_z}{(1 + \frac{{{R_M}}}{{{R_z}}})^{\frac{3}{2}}}$

[zircon63]

благодарю!